Theorem sprbisymrel 41749

Description: There is a bijection between the subsets of the set of pairs over a fixed set V and the symmetric relations R on the fixed set V. (Contributed by AV, 23-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sprsymrelf.p	|- P = ~P (Pairs ` V )
sprsymrelf.r	|- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }

Assertion

Ref	Expression
sprbisymrel	|- ( V e. W -> E. f f : P -1-1-onto-> R )

Distinct variable groups:   x, V, y, r   x, f, y   P, f   R, f   V, r   x, W, y

Allowed substitution hints:   P( x, y, r)   R( x, y, r)   V( f)   W( f, r)

Proof of Theorem sprbisymrel

Dummy variables p c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprsymrelf.p	. . . 4 |- P = ~P (Pairs ` V )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- (Pairs ` V ) e. _V
3	2	pwex 4848	. . . 4 |- ~P (Pairs ` V ) e. _V
4	1, 3	eqeltri 2697	. . 3 |- P e. _V
5		mptexg 6484	. . 3 |- ( P e. _V -> ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) e. _V )
6	4, 5	mp1i 13	. 2 |- ( V e. W -> ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) e. _V )
7		sprsymrelf.r	. . 3 |- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) }
8		eqid 2622	. . 3 |- ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } )
9	1, 7, 8	sprsymrelf1o 41748	. 2 |- ( V e. W -> ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) : P -1-1-onto-> R )
10		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( f = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) -> ( f : P -1-1-onto-> R <-> ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) : P -1-1-onto-> R ) )
11	10	spcegv 3294	. 2 |- ( ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) e. _V -> ( ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) : P -1-1-onto-> R -> E. f f : P -1-1-onto-> R ) )
12	6, 9, 11	sylc 65	1 |- ( V e. W -> E. f f : P -1-1-onto-> R )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  sprsymrelen  41750