Theorem sprval 41729

Description: The set of all unordered pairs over a given set V. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprval	|- ( V e. W -> (Pairs ` V ) = { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } )

Distinct variable groups:   V, a, b, p   W, a, b, p

Proof of Theorem sprval

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-spr 41728	. . 3 |- Pairs = ( v e. _V |-> { p | E. a e. v E. b e. v p = { a , b } } )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( V e. W -> Pairs = ( v e. _V |-> { p | E. a e. v E. b e. v p = { a , b } } ) )
3		id 22	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
4		rexeq 3139	. . . . 5 |- ( v = V -> ( E. b e. v p = { a , b } <-> E. b e. V p = { a , b } ) )
5	3, 4	rexeqbidv 3153	. . . 4 |- ( v = V -> ( E. a e. v E. b e. v p = { a , b } <-> E. a e. V E. b e. V p = { a , b } ) )
6	5	adantl 482	. . 3 |- ( ( V e. W /\ v = V ) -> ( E. a e. v E. b e. v p = { a , b } <-> E. a e. V E. b e. V p = { a , b } ) )
7	6	abbidv 2741	. 2 |- ( ( V e. W /\ v = V ) -> { p | E. a e. v E. b e. v p = { a , b } } = { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } )
8		elex 3212	. 2 |- ( V e. W -> V e. _V )
9		zfpair2 4907	. . . . . . . 8 |- { a , b } e. _V
10		eueq 3378	. . . . . . . 8 |- ( { a , b } e. _V <-> E! p p = { a , b } )
11	9, 10	mpbi 220	. . . . . . 7 |- E! p p = { a , b }
12		euabex 4929	. . . . . . 7 |- ( E! p p = { a , b } -> { p | p = { a , b } } e. _V )
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( V e. W -> { p | p = { a , b } } e. _V )
14	13	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( V e. W -> A. b e. V { p | p = { a , b } } e. _V )
15		abrexex2g 7144	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ A. b e. V { p | p = { a , b } } e. _V ) -> { p | E. b e. V p = { a , b } } e. _V )
16	14, 15	mpdan 702	. . . 4 |- ( V e. W -> { p | E. b e. V p = { a , b } } e. _V )
17	16	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( V e. W -> A. a e. V { p | E. b e. V p = { a , b } } e. _V )
18		abrexex2g 7144	. . 3 |- ( ( V e. W /\ A. a e. V { p | E. b e. V p = { a , b } } e. _V ) -> { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } e. _V )
19	17, 18	mpdan 702	. 2 |- ( V e. W -> { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } e. _V )
20	2, 7, 8, 19	fvmptd 6288	1 |- ( V e. W -> (Pairs ` V ) = { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  sprvalpw  41730  sprssspr  41731