Theorem sprssspr 41731

Description: The set of all unordered pairs over a given set V is a subset of the set of all unordered pairs. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sprssspr	|- (Pairs ` V ) C_ { p | E. a E. b p = { a , b } }

Distinct variable group:   V, a, b, p

Proof of Theorem sprssspr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sprval 41729	. . 3 |- ( V e. _V -> (Pairs ` V ) = { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } )
2		r2ex 3061	. . . . . . 7 |- ( E. a e. V E. b e. V p = { a , b } <-> E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ p = { a , b } ) )
3		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ p = { a , b } ) -> p = { a , b } )
4	3	2eximi 1763	. . . . . . 7 |- ( E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ p = { a , b } ) -> E. a E. b p = { a , b } )
5	2, 4	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( E. a e. V E. b e. V p = { a , b } -> E. a E. b p = { a , b } )
6	5	ax-gen 1722	. . . . 5 |- A. p ( E. a e. V E. b e. V p = { a , b } -> E. a E. b p = { a , b } )
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( V e. _V -> A. p ( E. a e. V E. b e. V p = { a , b } -> E. a E. b p = { a , b } ) )
8		ss2ab 3670	. . . 4 |- ( { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } C_ { p | E. a E. b p = { a , b } } <-> A. p ( E. a e. V E. b e. V p = { a , b } -> E. a E. b p = { a , b } ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . 3 |- ( V e. _V -> { p | E. a e. V E. b e. V p = { a , b } } C_ { p | E. a E. b p = { a , b } } )
10	1, 9	eqsstrd 3639	. 2 |- ( V e. _V -> (Pairs ` V ) C_ { p | E. a E. b p = { a , b } } )
11		fvprc 6185	. . 3 |- ( -. V e. _V -> (Pairs ` V ) = (/) )
12		0ss 3972	. . . 4 |- (/) C_ { p | E. a E. b p = { a , b } }
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( -. V e. _V -> (/) C_ { p | E. a E. b p = { a , b } } )
14	11, 13	eqsstrd 3639	. 2 |- ( -. V e. _V -> (Pairs ` V ) C_ { p | E. a E. b p = { a , b } } )
15	10, 14	pm2.61i 176	1 |- (Pairs ` V ) C_ { p | E. a E. b p = { a , b } }

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   ` cfv 5888  Pairscspr 41727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-spr 41728

This theorem is referenced by:  spr0el  41732