Theorem ssfin4 9132

Description: Dedekind finite sets have Dedekind finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfin4	|- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> B e. FinIV )

Proof of Theorem ssfin4

Dummy variables c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> A e. FinIV )
2		pssss 3702	. . . . . . . . 9 |- ( x C. B -> x C_ B )
3		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4	2, 3	sylan9ssr 3617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) -> x C_ A )
5		difssd 3738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) -> ( A \ B ) C_ A )
6	4, 5	unssd 3789	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) -> ( x u. ( A \ B ) ) C_ A )
7		pssnel 4039	. . . . . . . . 9 |- ( x C. B -> E. c ( c e. B /\ -. c e. x ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) -> E. c ( c e. B /\ -. c e. x ) )
9		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> B C_ A )
10		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> c e. B )
11	9, 10	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> c e. A )
12		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> -. c e. x )
13		elndif 3734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. B -> -. c e. ( A \ B ) )
14	13	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> -. c e. ( A \ B ) )
15		ioran 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( c e. x \/ c e. ( A \ B ) ) <-> ( -. c e. x /\ -. c e. ( A \ B ) ) )
16		elun 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( x u. ( A \ B ) ) <-> ( c e. x \/ c e. ( A \ B ) ) )
17	15, 16	xchnxbir 323	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. c e. ( x u. ( A \ B ) ) <-> ( -. c e. x /\ -. c e. ( A \ B ) ) )
18	12, 14, 17	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> -. c e. ( x u. ( A \ B ) ) )
19		nelneq2 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. A /\ -. c e. ( x u. ( A \ B ) ) ) -> -. A = ( x u. ( A \ B ) ) )
20	11, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> -. A = ( x u. ( A \ B ) ) )
21		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( A = ( x u. ( A \ B ) ) <-> ( x u. ( A \ B ) ) = A )
22	20, 21	sylnib 318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) /\ ( c e. B /\ -. c e. x ) ) -> -. ( x u. ( A \ B ) ) = A )
23	8, 22	exlimddv 1863	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) -> -. ( x u. ( A \ B ) ) = A )
24		dfpss2 3692	. . . . . . 7 |- ( ( x u. ( A \ B ) ) C. A <-> ( ( x u. ( A \ B ) ) C_ A /\ -. ( x u. ( A \ B ) ) = A ) )
25	6, 23, 24	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ x C. B ) -> ( x u. ( A \ B ) ) C. A )
26	25	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( x u. ( A \ B ) ) C. A )
27		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> x ~~ B )
28		difexg 4808	. . . . . . . 8 |- ( A e. FinIV -> ( A \ B ) e. _V )
29		enrefg 7987	. . . . . . . 8 |- ( ( A \ B ) e. _V -> ( A \ B ) ~~ ( A \ B ) )
30	1, 28, 29	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( A \ B ) ~~ ( A \ B ) )
31	2	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> x C_ B )
32		ssinss1 3841	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ B -> ( x i^i A ) C_ B )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( x i^i A ) C_ B )
34		inssdif0 3947	. . . . . . . . 9 |- ( ( x i^i A ) C_ B <-> ( x i^i ( A \ B ) ) = (/) )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( x i^i ( A \ B ) ) = (/) )
36		disjdif 4040	. . . . . . . 8 |- ( B i^i ( A \ B ) ) = (/)
37	35, 36	jctir 561	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( ( x i^i ( A \ B ) ) = (/) /\ ( B i^i ( A \ B ) ) = (/) ) )
38		unen 8040	. . . . . . 7 |- ( ( ( x ~~ B /\ ( A \ B ) ~~ ( A \ B ) ) /\ ( ( x i^i ( A \ B ) ) = (/) /\ ( B i^i ( A \ B ) ) = (/) ) ) -> ( x u. ( A \ B ) ) ~~ ( B u. ( A \ B ) ) )
39	27, 30, 37, 38	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( x u. ( A \ B ) ) ~~ ( B u. ( A \ B ) ) )
40		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> B C_ A )
41		undif 4049	. . . . . . 7 |- ( B C_ A <-> ( B u. ( A \ B ) ) = A )
42	40, 41	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( B u. ( A \ B ) ) = A )
43	39, 42	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> ( x u. ( A \ B ) ) ~~ A )
44		fin4i 9120	. . . . 5 |- ( ( ( x u. ( A \ B ) ) C. A /\ ( x u. ( A \ B ) ) ~~ A ) -> -. A e. FinIV )
45	26, 43, 44	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) /\ ( x C. B /\ x ~~ B ) ) -> -. A e. FinIV )
46	1, 45	pm2.65da 600	. . 3 |- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> -. ( x C. B /\ x ~~ B ) )
47	46	nexdv 1864	. 2 |- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> -. E. x ( x C. B /\ x ~~ B ) )
48		ssexg 4804	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A e. FinIV ) -> B e. _V )
49	48	ancoms 469	. . 3 |- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> B e. _V )
50		isfin4 9119	. . 3 |- ( B e. _V -> ( B e. FinIV <-> -. E. x ( x C. B /\ x ~~ B ) ) )
51	49, 50	syl 17	. 2 |- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> ( B e. FinIV <-> -. E. x ( x C. B /\ x ~~ B ) ) )
52	47, 51	mpbird 247	1 |- ( ( A e. FinIV /\ B C_ A ) -> B e. FinIV )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952  Fin^IVcfin4 9102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-en 7956  df-fin4 9109

This theorem is referenced by:  domfin4  9133