Theorem sspmlem 27587

Description: Lemma for sspm 27589 and others. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspmlem.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
sspmlem.h	|- H = ( SubSp ` U )
sspmlem.1	|- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x G y ) )
sspmlem.2	|- ( W e. NrmCVec -> F : ( Y X. Y ) --> R )
sspmlem.3	|- ( U e. NrmCVec -> G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> S )

Assertion

Ref	Expression
sspmlem	|- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, G, y   x, H, y   x, U, y   x, W, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   R( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem sspmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspmlem.1	. . . . 5 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x G y ) )
2		ovres 6800	. . . . . 6 |- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) )
3	2	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) )
4	1, 3	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) )
5	4	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( Y X. Y ) = ( Y X. Y )
7	5, 6	jctil 560	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) )
8		sspmlem.h	. . . . 5 |- H = ( SubSp ` U )
9	8	sspnv 27581	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> W e. NrmCVec )
10		sspmlem.2	. . . 4 |- ( W e. NrmCVec -> F : ( Y X. Y ) --> R )
11		ffn 6045	. . . 4 |- ( F : ( Y X. Y ) --> R -> F Fn ( Y X. Y ) )
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F Fn ( Y X. Y ) )
13		sspmlem.3	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> S )
14		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> S -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) )
16	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) )
17		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
18		sspmlem.y	. . . . . 6 |- Y = ( BaseSet ` W )
19	17, 18, 8	sspba 27582	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> Y C_ ( BaseSet ` U ) )
20		xpss12 5225	. . . . 5 |- ( ( Y C_ ( BaseSet ` U ) /\ Y C_ ( BaseSet ` U ) ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) )
21	19, 19, 20	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) )
22		fnssres 6004	. . . 4 |- ( ( G Fn ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) /\ ( Y X. Y ) C_ ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) )
23	16, 21, 22	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) )
24		eqfnov 6766	. . 3 |- ( ( F Fn ( Y X. Y ) /\ ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) )
25	12, 23, 24	syl2anc 693	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) )
26	7, 25	mpbird 247	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. H ) -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   SubSpcss 27576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-nmcv 27455  df-ssp 27577

This theorem is referenced by:  sspm  27589  sspims  27594