Theorem infempty 8412

Description: The infimum of an empty set under a base set which has a unique greatest element is the greatest element of the base set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infempty	|- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. X R y ) /\ E! x e. A A. y e. A -. x R y ) -> inf ( (/) , A , R ) = X )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   x, X, y

Proof of Theorem infempty

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 8349	. 2 |- inf ( (/) , A , R ) = sup ( (/) , A , `' R )
2		cnvso 5674	. . 3 |- ( R Or A <-> `' R Or A )
3		brcnvg 5303	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ X e. A ) -> ( y `' R X <-> X R y ) )
4	3	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( X e. A /\ y e. A ) -> ( y `' R X <-> X R y ) )
5	4	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ y e. A ) -> ( X R y <-> y `' R X ) )
6	5	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ y e. A ) -> ( -. X R y <-> -. y `' R X ) )
7	6	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( X e. A -> ( A. y e. A -. X R y <-> A. y e. A -. y `' R X ) )
8	7	pm5.32i 669	. . 3 |- ( ( X e. A /\ A. y e. A -. X R y ) <-> ( X e. A /\ A. y e. A -. y `' R X ) )
9		brcnvg 5303	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ x e. A ) -> ( y `' R x <-> x R y ) )
10	9	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( y `' R x <-> x R y ) )
11	10	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> y `' R x ) )
12	11	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( -. x R y <-> -. y `' R x ) )
13	12	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( x e. A -> ( A. y e. A -. x R y <-> A. y e. A -. y `' R x ) )
14	13	reubiia 3127	. . 3 |- ( E! x e. A A. y e. A -. x R y <-> E! x e. A A. y e. A -. y `' R x )
15		sup0 8372	. . 3 |- ( ( `' R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y `' R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y `' R x ) -> sup ( (/) , A , `' R ) = X )
16	2, 8, 14, 15	syl3anb 1369	. 2 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. X R y ) /\ E! x e. A A. y e. A -. x R y ) -> sup ( (/) , A , `' R ) = X )
17	1, 16	syl5eq 2668	1 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. X R y ) /\ E! x e. A A. y e. A -. x R y ) -> inf ( (/) , A , R ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113   supcsup 8346  infcinf 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-cnv 5122  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348  df-inf 8349

This theorem is referenced by: (None)