Theorem supeq1 8351

Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by NM, 22-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
supeq1	|- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Proof of Theorem supeq1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3138	. . . . 5 |- ( B = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. C -. x R y ) )
2		rexeq 3139	. . . . . . 7 |- ( B = C -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. C y R z ) )
3	2	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
4	3	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( B = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
5	1, 4	anbi12d 747	. . . 4 |- ( B = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) ) )
6	5	rabbidv 3189	. . 3 |- ( B = C -> { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) } )
7	6	unieqd 4446	. 2 |- ( B = C -> U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = U. { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) } )
8		df-sup 8348	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
9		df-sup 8348	. 2 |- sup ( C , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) }
10	7, 8, 9	3eqtr4g 2681	1 |- ( B = C -> sup ( B , A , R ) = sup ( C , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-uni 4437  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  supeq1d  8352  supeq1i  8353  infeq1  8382  bndth  22757  ioorval  23342  uniioombllem6  23356  mdegcl  23829  suplesup  39555  supminfxr  39694