Theorem dfsup2 8350

Description: Quantifier free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dfsup2	|- sup ( B , A , R ) = U. ( A \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )

Proof of Theorem dfsup2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 8348	. 2 |- sup ( B , A , R ) = U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) }
2		dfrab3 3902	. . . 4 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = ( A i^i { x | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
3		abeq1 2733	. . . . . . 7 |- ( { x | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) <-> A. x ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> x e. ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) ) )
4		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) )
6	4, 5	mpbiran 953	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) <-> -. x e. ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
7	4	elima 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( `' R " B ) <-> E. y e. B y `' R x )
8		dfrex2 2996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B y `' R x <-> -. A. y e. B -. y `' R x )
9	7, 8	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( `' R " B ) <-> -. A. y e. B -. y `' R x )
10	4	elima 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) <-> E. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) y R x )
11		dfrex2 2996	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) y R x <-> -. A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x )
12	10, 11	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) <-> -. A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x )
13	9, 12	orbi12i 543	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( `' R " B ) \/ x e. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) <-> ( -. A. y e. B -. y `' R x \/ -. A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x ) )
14		elun 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) <-> ( x e. ( `' R " B ) \/ x e. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
15		ianor 509	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( A. y e. B -. y `' R x /\ A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x ) <-> ( -. A. y e. B -. y `' R x \/ -. A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x ) )
16	13, 14, 15	3bitr4i 292	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) <-> -. ( A. y e. B -. y `' R x /\ A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x ) )
17	16	con2bii 347	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. B -. y `' R x /\ A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x ) <-> -. x e. ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
19	18, 4	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' R x <-> x R y )
20	19	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. y `' R x <-> -. x R y )
21	20	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B -. y `' R x <-> A. y e. B -. x R y )
22		impexp 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. A /\ -. y e. ( `' R " B ) ) -> -. y R x ) <-> ( y e. A -> ( -. y e. ( `' R " B ) -> -. y R x ) ) )
23		eldif 3584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( A \ ( `' R " B ) ) <-> ( y e. A /\ -. y e. ( `' R " B ) ) )
24	23	imbi1i 339	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -> -. y R x ) <-> ( ( y e. A /\ -. y e. ( `' R " B ) ) -> -. y R x ) )
25	18	elima 5471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( `' R " B ) <-> E. z e. B z `' R y )
26		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
27	26, 18	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z `' R y <-> y R z )
28	27	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z e. B z `' R y <-> E. z e. B y R z )
29	25, 28	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( `' R " B ) <-> E. z e. B y R z )
30	29	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y R x -> y e. ( `' R " B ) ) <-> ( y R x -> E. z e. B y R z ) )
31		con34b 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y R x -> y e. ( `' R " B ) ) <-> ( -. y e. ( `' R " B ) -> -. y R x ) )
32	30, 31	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( -. y e. ( `' R " B ) -> -. y R x ) )
33	32	imbi2i 326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A -> ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( y e. A -> ( -. y e. ( `' R " B ) -> -. y R x ) ) )
34	22, 24, 33	3bitr4i 292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -> -. y R x ) <-> ( y e. A -> ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
35	34	ralbii2 2978	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x <-> A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) )
36	21, 35	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. B -. y `' R x /\ A. y e. ( A \ ( `' R " B ) ) -. y R x ) <-> ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
37	6, 17, 36	3bitr2ri 289	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> x e. ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) )
38	3, 37	mpgbir 1726	. . . . . 6 |- { x | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
39	38	ineq2i 3811	. . . . 5 |- ( A i^i { x | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } ) = ( A i^i ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) )
40		invdif 3868	. . . . 5 |- ( A i^i ( _V \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) ) ) = ( A \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
41	39, 40	eqtri 2644	. . . 4 |- ( A i^i { x | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } ) = ( A \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
42	2, 41	eqtri 2644	. . 3 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = ( A \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
43	42	unieqi 4445	. 2 |- U. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } = U. ( A \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )
44	1, 43	eqtri 2644	1 |- sup ( B , A , R ) = U. ( A \ ( ( `' R " B ) u. ( R " ( A \ ( `' R " B ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   supcsup 8346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-sup 8348

This theorem is referenced by:  nfsup  8357