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Theorem uniioombllem6 23356
Description: Lemma for uniioombl 23357. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.2 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
uniioombl.3 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
uniioombl.a |- A = U. ran ( (,) o. F )
uniioombl.e |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
uniioombl.c |- ( ph -> C e. RR+ )
uniioombl.g |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
uniioombl.s |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
uniioombl.t |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
uniioombl.v |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
Assertion
Ref Expression
uniioombllem6 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, A   x, C   ph, x   x, T
Allowed substitution hints:   S( x)   E( x)
Proof of Theorem uniioombllem6
Dummy variables a i j k n y z m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11723 . . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2 1zzd 11408 . . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3 uniioombl.c . . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
4 eqidd 2623 . . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( T ` m ) = ( T ` m ) )
5 uniioombl.t . . . . . 6 |- T = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. G ) )
6 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) = ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
7 uniioombl.g . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
8 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs o. - ) o. G ) = ( ( abs o. - ) o. G )
98ovolfsf 23240 . . . . . . . . . 10 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) o. G ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
1110ffvelrnda 6359 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) )
12 elrege0 12278 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1311, 12sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) ) )
1413simpld 475 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) e. RR )
1513simprd 479 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( abs o. - ) o. G ) ` a ) )
16 uniioombl.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
17 uniioombl.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
18 uniioombl.3 . . . . . . . 8 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. F ) )
19 uniioombl.a . . . . . . . 8 |- A = U. ran ( (,) o. F )
20 uniioombl.e . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
21 uniioombl.s . . . . . . . 8 |- ( ph -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
22 uniioombl.v . . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22uniioombllem1 23349 . . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
248, 5ovolsf 23241 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
26 frn 6053 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran T C_ ( 0 [,) +oo ) )
28 icossxr 12258 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
2927, 28syl6ss 3615 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran T C_ RR* )
30 supxrub 12154 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ran T C_ RR* /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3129, 30sylan 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ran T ) -> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
3231ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
33 ffn 6045 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> T Fn NN )
3425, 33syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> T Fn NN )
35 breq1 4656 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( T ` m ) -> ( x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3635ralrn 6362 . . . . . . . . 9 |- ( T Fn NN -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
3832, 37mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) )
39 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( ( T ` m ) <_ x <-> ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4039ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. m e. NN ( T ` m ) <_ x <-> A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
4140rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. m e. NN ( T ` m ) <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
4223, 38, 41syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. RR A. m e. NN ( T ` m ) <_ x )
431, 5, 2, 6, 14, 15, 42isumsup2 14578 . . . . 5 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR , < ) )
44 rge0ssre 12280 . . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4527, 44syl6ss 3615 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T C_ RR )
46 1nn 11031 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
47 fdm 6051 . . . . . . . . . 10 |- ( T : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> dom T = NN )
4825, 47syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom T = NN )
4946, 48syl5eleqr 2708 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. dom T )
50 ne0i 3921 . . . . . . . 8 |- ( 1 e. dom T -> dom T =/= (/) )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom T =/= (/) )
52 dm0rn0 5342 . . . . . . . 8 |- ( dom T = (/) <-> ran T = (/) )
5352necon3bii 2846 . . . . . . 7 |- ( dom T =/= (/) <-> ran T =/= (/) )
5451, 53sylib 208 . . . . . 6 |- ( ph -> ran T =/= (/) )
55 breq2 4657 . . . . . . . . 9 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5655ralbidv 2986 . . . . . . . 8 |- ( y = sup ( ran T , RR* , < ) -> ( A. x e. ran T x <_ y <-> A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) )
5756rspcev 3309 . . . . . . 7 |- ( ( sup ( ran T , RR* , < ) e. RR /\ A. x e. ran T x <_ sup ( ran T , RR* , < ) ) -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
5823, 32, 57syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y )
59 supxrre 12157 . . . . . 6 |- ( ( ran T C_ RR /\ ran T =/= (/) /\ E. y e. RR A. x e. ran T x <_ y ) -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6045, 54, 58, 59syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) = sup ( ran T , RR , < ) )
6143, 60breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( ph -> T ~~> sup ( ran T , RR* , < ) )
621, 2, 3, 4, 61climi2 14242 . . 3 |- ( ph -> E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
631r19.2uz 14091 . . 3 |- ( E. j e. NN A. m e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
6462, 63syl 17 . 2 |- ( ph -> E. m e. NN ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
65 1zzd 11408 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> 1 e. ZZ )
663ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> C e. RR+ )
67 simplrl 800 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. NN )
6867nnrpd 11870 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> m e. RR+ )
6966, 68rpdivcld 11889 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( C / m ) e. RR+ )
70 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` z ) ) e. _V
7170inex1 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
7271rgenw 2924 . . . . . . . . . . . . . 14 |- A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
73 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
7473fnmpt 6020 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. NN ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
7572, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN )
76 elfznn 12370 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1 ... n ) -> i e. NN )
77 fvco2 6273 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) Fn NN /\ i e. NN ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7875, 76, 77syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) )
7976adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> i e. NN )
80 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = i -> ( F ` z ) = ( F ` i ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = i -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` i ) ) )
8281ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = i -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
83 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (,) ` ( F ` i ) ) e. _V
8483inex1 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. _V
8582, 73, 84fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8679, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) = ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
8786fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ` i ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
8878, 87eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ` i ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
89 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
9089, 1syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) )
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) )
93 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
947adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
95 elfznn 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( 1 ... m ) -> j e. NN )
96 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9794, 95, 96syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
9893, 97sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) )
99 1st2nd2 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G ` j ) e. ( RR X. RR ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( G ` j ) = <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
101100fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. ) )
102 df-ov 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) = ( (,) ` <. ( 1st ` ( G ` j ) ) , ( 2nd ` ( G ` j ) ) >. )
103101, 102syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
104 ioossre 12235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) C_ RR
105103, 104syl6eqss 3655 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
106105ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR )
107103fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) )
108 ovolfcl 23235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
10994, 95, 108syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) )
110 ovolioo 23336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR /\ ( 1st ` ( G ` j ) ) <_ ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( ( 1st ` ( G ` j ) ) (,) ( 2nd ` ( G ` j ) ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
112107, 111eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) )
113109simp2d 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 2nd ` ( G ` j ) ) e. RR )
114109simp1d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( 1st ` ( G ` j ) ) e. RR )
115113, 114resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( 2nd ` ( G ` j ) ) - ( 1st ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
116112, 115eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
117116ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR )
118 ovolsscl 23254 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) C_ ( (,) ` ( G ` j ) ) /\ ( (,) ` ( G ` j ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( (,) ` ( G ` j ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
11992, 106, 117, 118syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. RR )
120119recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) /\ i e. ( 1 ... n ) ) -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) e. CC )
12188, 90, 120fsumser 14461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) )
122121eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ` n ) = sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
123 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = k -> ( F ` z ) = ( F ` k ) )
124123fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = k -> ( (,) ` ( F ` z ) ) = ( (,) ` ( F ` k ) ) )
125124ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
126125cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( k e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` k ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
127 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( z = (/) <-> x = (/) ) )
128 infeq1 8382 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> inf ( z , RR* , < ) = inf ( x , RR* , < ) )
129 supeq1 8351 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> sup ( z , RR* , < ) = sup ( x , RR* , < ) )
130128, 129opeq12d 4410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. = <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. )
131127, 130ifbieq2d 4111 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) = if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
132131cbvmptv 4750 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ran (,) |-> if ( z = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( z , RR* , < ) , sup ( z , RR* , < ) >. ) ) = ( x e. ran (,) |-> if ( x = (/) , <. 0 , 0 >. , <.inf ( x , RR* , < ) , sup ( x , RR* , < ) >. ) )
13316, 17, 18, 19, 20, 3, 7, 21, 5, 22, 126, 132uniioombllem2 23351 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
13495, 133sylan2 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
135134adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> seq 1 ( + , ( vol* o. ( z e. NN |-> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) ) ) ~~> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) )
1361, 65, 69, 122, 135climi2 14242 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
137 1z 11407 . . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
1381rexuz3 14088 . . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
140136, 139sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ j e. ( 1 ... m ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
141140ralrimiva 2966 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
142 fzfi 12771 . . . . . . 7 |- ( 1 ... m ) e. Fin
143 rexfiuz 14087 . . . . . . 7 |- ( ( 1 ... m ) e. Fin -> ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
144142, 143ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. j e. ( 1 ... m ) E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
145141, 144sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1461rexuz3 14088 . . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
147137, 146ax-mp 5 . . . . 5 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> E. a e. ZZ A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
148145, 147sylibr 224 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
1491r19.2uz 14091 . . . 4 |- ( E. a e. NN A. n e. ( ZZ>= ` a ) A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
150148, 149syl 17 . . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> E. n e. NN A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
15116adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> F : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15217adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> Disj x e. NN ( (,) ` ( F ` x ) ) )
15320adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
1543adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> C e. RR+ )
1557adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
15621adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> E C_ U. ran ( (,) o. G ) )
15722adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> sup ( ran T , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` E ) + C ) )
158 simprll 802 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> m e. NN )
159 simprlr 803 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C )
160 eqid 2622 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) ) = U. ( ( (,) o. G ) " ( 1 ... m ) )
161 simprrl 804 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> n e. NN )
162 simprrr 805 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
163 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = z -> ( F ` i ) = ( F ` z ) )
164163fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = z -> ( (,) ` ( F ` i ) ) = ( (,) ` ( F ` z ) ) )
165164ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = z -> ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
166165fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = z -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) )
167166cbvsumv 14426 . . . . . . . . . . 11 |- sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) )
168 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
169168fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( (,) ` ( G ` j ) ) = ( (,) ` ( G ` k ) ) )
170169ineq2d 3814 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) = ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) )
171170fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
172171sumeq2sdv 14435 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
173167, 172syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) = sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) )
174169ineq1d 3813 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) = ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) )
175174fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) = ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) )
176173, 175oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) = ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) )
177176fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) = ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) )
178177breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) )
179178cbvralv 3171 . . . . . 6 |- ( A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) <-> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
180162, 179sylib 208 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> A. k e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ z e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` z ) ) i^i ( (,) ` ( G ` k ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` k ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) )
181 eqid 2622 . . . . 5 |- U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) ) = U. ( ( (,) o. F ) " ( 1 ... n ) )
182151, 152, 18, 19, 153, 154, 155, 156, 5, 157, 158, 159, 160, 161, 180, 181uniioombllem5 23355 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
183182anassrs 680 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) /\ ( n e. NN /\ A. j e. ( 1 ... m ) ( abs ` ( sum_ i e. ( 1 ... n ) ( vol* ` ( ( (,) ` ( F ` i ) ) i^i ( (,) ` ( G ` j ) ) ) ) - ( vol* ` ( ( (,) ` ( G ` j ) ) i^i A ) ) ) ) < ( C / m ) ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
184150, 183rexlimddv 3035 . 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ ( abs ` ( ( T ` m ) - sup ( ran T , RR* , < ) ) ) < C ) ) -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
18564, 184rexlimddv 3035 1 |- ( ph -> ( ( vol* ` ( E i^i A ) ) + ( vol* ` ( E \ A ) ) ) <_ ( ( vol* ` E ) + ( 4 x. C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   4c4 11072   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   vol*covol 23231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234
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