Theorem suppvalbr 7299

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	|- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 7297	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } )
2		df-rab 2921	. . . 4 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) }
3		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 5321	. . . . . 6 |- ( x e. dom R <-> E. y x R y )
5		df-sn 4178	. . . . . . . 8 |- { Z } = { y | y = Z }
6	5	neeq2i 2859	. . . . . . 7 |- ( { y | x R y } =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
7		imasng 5487	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> ( R " { x } ) = { y | x R y } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( R " { x } ) = { y | x R y }
9	8	neeq1i 2858	. . . . . . 7 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { Z } )
10		nabbi 2896	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
11	6, 9, 10	3bitr4i 292	. . . . . 6 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> E. y ( x R y <-> -. y = Z ) )
12	4, 11	anbi12i 733	. . . . 5 |- ( ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) )
13	12	abbii 2739	. . . 4 |- { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
14	2, 13	eqtri 2644	. . 3 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
15	14	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } )
16		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( y =/= Z <-> -. y = Z )
17	16	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( -. y = Z <-> y =/= Z )
18	17	bibi2i 327	. . . . . 6 |- ( ( x R y <-> -. y = Z ) <-> ( x R y <-> y =/= Z ) )
19	18	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> E. y ( x R y <-> y =/= Z ) )
20	19	anbi2i 730	. . . 4 |- ( ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) )
21	20	abbii 2739	. . 3 |- { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) }
22	21	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )
23	1, 15, 22	3eqtrd 2660	1 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   "cima 5117  (class class class)co 6650   supp csupp 7295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-supp 7296

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  7305  suppimacnv  7306