Theorem tgtrisegint 25394

Description: A line segment between two sides of a triange intersects a segment crossing from the remaining side to the opposite vertex. Theorem 3.17 of [Schwabhauser] p. 33. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tkgeom.p	|- P = ( Base ` G )
tkgeom.d	|- .- = ( dist ` G )
tkgeom.i	|- I = (Itv ` G )
tkgeom.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
tgbtwnintr.1	|- ( ph -> A e. P )
tgbtwnintr.2	|- ( ph -> B e. P )
tgbtwnintr.3	|- ( ph -> C e. P )
tgbtwnintr.4	|- ( ph -> D e. P )
tgtrisegint.e	|- ( ph -> E e. P )
tgtrisegint.p	|- ( ph -> F e. P )
tgtrisegint.1	|- ( ph -> B e. ( A I C ) )
tgtrisegint.2	|- ( ph -> E e. ( D I C ) )
tgtrisegint.3	|- ( ph -> F e. ( A I D ) )

Assertion

Ref	Expression
tgtrisegint	|- ( ph -> E. q e. P ( q e. ( F I C ) /\ q e. ( B I E ) ) )

Distinct variable groups:   .- , q   A, q   B, q   C, q   D, q   E, q   F, q   I, q   P, q   ph, q

Allowed substitution hint:   G( q)

Proof of Theorem tgtrisegint

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tkgeom.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
2		tkgeom.d	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
3		tkgeom.i	. . . 4 |- I = (Itv ` G )
4		tkgeom.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiG )
5	4	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> G e. TarskiG )
6		tgtrisegint.e	. . . . 5 |- ( ph -> E e. P )
7	6	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> E e. P )
8		tgbtwnintr.3	. . . . 5 |- ( ph -> C e. P )
9	8	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> C e. P )
10		tgbtwnintr.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. P )
11	10	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> A e. P )
12		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> r e. P )
13		tgbtwnintr.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. P )
14	13	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> B e. P )
15		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> r e. ( E I A ) )
16		tgtrisegint.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( A I C ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> B e. ( A I C ) )
18	1, 2, 3, 5, 11, 14, 9, 17	tgbtwncom 25383	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> B e. ( C I A ) )
19	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 18	axtgpasch 25366	. . 3 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> E. q e. P ( q e. ( r I C ) /\ q e. ( B I E ) ) )
20	5	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> G e. TarskiG )
21		tgtrisegint.p	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. P )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> F e. P )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> F e. P )
24	12	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> r e. P )
25		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> q e. P )
26	9	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> C e. P )
27		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> r e. ( F I C ) )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> r e. ( F I C ) )
29		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> q e. ( r I C ) )
30	1, 2, 3, 20, 23, 24, 25, 26, 28, 29	tgbtwnexch2 25391	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) /\ q e. ( r I C ) ) -> q e. ( F I C ) )
31	30	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) -> ( q e. ( r I C ) -> q e. ( F I C ) ) )
32	31	anim1d 588	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) /\ q e. P ) -> ( ( q e. ( r I C ) /\ q e. ( B I E ) ) -> ( q e. ( F I C ) /\ q e. ( B I E ) ) ) )
33	32	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> ( E. q e. P ( q e. ( r I C ) /\ q e. ( B I E ) ) -> E. q e. P ( q e. ( F I C ) /\ q e. ( B I E ) ) ) )
34	19, 33	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ph /\ r e. P ) /\ ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) ) -> E. q e. P ( q e. ( F I C ) /\ q e. ( B I E ) ) )
35		tgbtwnintr.4	. . 3 |- ( ph -> D e. P )
36		tgtrisegint.2	. . . 4 |- ( ph -> E e. ( D I C ) )
37	1, 2, 3, 4, 35, 6, 8, 36	tgbtwncom 25383	. . 3 |- ( ph -> E e. ( C I D ) )
38		tgtrisegint.3	. . 3 |- ( ph -> F e. ( A I D ) )
39	1, 2, 3, 4, 8, 10, 35, 6, 21, 37, 38	axtgpasch 25366	. 2 |- ( ph -> E. r e. P ( r e. ( E I A ) /\ r e. ( F I C ) ) )
40	34, 39	r19.29a 3078	1 |- ( ph -> E. q e. P ( q e. ( F I C ) /\ q e. ( B I E ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  krippenlem  25585  colperpexlem3  25624