Theorem axtgpasch 25366

Description: Axiom of (Inner) Pasch, Axiom A7 of [Schwabhauser] p. 12. Given triangle X Y Z, point U in segment X Z, and point V in segment Y Z, there exists a point a on both the segment U Y and the segment V X. This axiom is essentially a subset of the general Pasch axiom. The general Pasch axiom asserts that on a plane "a line intersecting a triangle in one of its sides, and not intersecting any of the vertices, must intersect one of the other two sides" (per the discussion about Axiom 7 of [Tarski1999] p. 179). The (general) Pasch axiom was used implicitly by Euclid, but never stated; Moritz Pasch discovered its omission in 1882. As noted in the Metamath book, this means that the omission of Pasch's axiom from Euclid went unnoticed for 2000 years. Only the inner Pasch algorithm is included as an axiom; the "outer" form of the Pasch axiom can be proved using the inner form (see theorem 9.6 of [Schwabhauser] p. 69 and the brief discussion in axiom 7.1 of [Tarski1999] p. 180). (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
axtrkg.p	|- P = ( Base ` G )
axtrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
axtrkg.i	|- I = (Itv ` G )
axtrkg.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
axtgpasch.1	|- ( ph -> X e. P )
axtgpasch.2	|- ( ph -> Y e. P )
axtgpasch.3	|- ( ph -> Z e. P )
axtgpasch.4	|- ( ph -> U e. P )
axtgpasch.5	|- ( ph -> V e. P )
axtgpasch.6	|- ( ph -> U e. ( X I Z ) )
axtgpasch.7	|- ( ph -> V e. ( Y I Z ) )

Assertion

Ref	Expression
axtgpasch	|- ( ph -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) )

Distinct variable groups:   I, a   P, a   U, a   X, a   Y, a   Z, a   V, a   .- , a

Allowed substitution hints:   ph( a)   G( a)

Proof of Theorem axtgpasch

Dummy variables f i p x y z b v s t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtgpasch.6	. 2 |- ( ph -> U e. ( X I Z ) )
2		axtgpasch.7	. 2 |- ( ph -> V e. ( Y I Z ) )
3		df-trkg 25352	. . . . . . 7 |- TarskiG = ( (TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i (TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. (Itv ` f ) / i ]. (LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) )
4		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( (TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i (TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. (Itv ` f ) / i ]. (LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) ) C_ (TarskiGC i^i TarskiGB )
5		inss2 3834	. . . . . . . 8 |- (TarskiGC i^i TarskiGB ) C_ TarskiGB
6	4, 5	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( (TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i (TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. (Itv ` f ) / i ]. (LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) ) C_ TarskiGB
7	3, 6	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- TarskiG C_ TarskiGB
8		axtrkg.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> G e. TarskiGB )
10		axtrkg.p	. . . . . . . 8 |- P = ( Base ` G )
11		axtrkg.d	. . . . . . . 8 |- .- = ( dist ` G )
12		axtrkg.i	. . . . . . . 8 |- I = (Itv ` G )
13	10, 11, 12	istrkgb 25354	. . . . . . 7 |- ( G e. TarskiGB <-> ( G e. _V /\ ( A. x e. P A. y e. P ( y e. ( x I x ) -> x = y ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) /\ A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) ) ) )
14	13	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( G e. TarskiGB -> ( A. x e. P A. y e. P ( y e. ( x I x ) -> x = y ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) /\ A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) ) )
15	14	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( G e. TarskiGB -> A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) )
16	9, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) )
17		axtgpasch.1	. . . . 5 |- ( ph -> X e. P )
18		axtgpasch.2	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. P )
19		axtgpasch.3	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. P )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( x I z ) = ( X I z ) )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( u e. ( x I z ) <-> u e. ( X I z ) ) )
22	21	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) <-> ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( y I z ) ) ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( v I x ) = ( v I X ) )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( a e. ( v I x ) <-> a e. ( v I X ) ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) <-> ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
26	25	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) <-> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
27	22, 26	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) <-> ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
28	27	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) <-> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( y I z ) = ( Y I z ) )
30	29	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( v e. ( y I z ) <-> v e. ( Y I z ) ) )
31	30	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( y I z ) ) <-> ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( Y I z ) ) ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( u I y ) = ( u I Y ) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( a e. ( u I y ) <-> a e. ( u I Y ) ) )
34	33	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( y = Y -> ( ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) <-> ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
35	34	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = Y -> ( E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) <-> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
36	31, 35	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( y = Y -> ( ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) <-> ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( Y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
37	36	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) <-> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( Y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( X I z ) = ( X I Z ) )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( u e. ( X I z ) <-> u e. ( X I Z ) ) )
40		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( Y I z ) = ( Y I Z ) )
41	40	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( v e. ( Y I z ) <-> v e. ( Y I Z ) ) )
42	39, 41	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = Z -> ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( Y I z ) ) <-> ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) ) )
43	42	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( z = Z -> ( ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( Y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) <-> ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
44	43	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I z ) /\ v e. ( Y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) <-> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
45	28, 37, 44	rspc3v 3325	. . . . 5 |- ( ( X e. P /\ Y e. P /\ Z e. P ) -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) -> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
46	17, 18, 19, 45	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) -> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
47	16, 46	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
48		axtgpasch.4	. . . 4 |- ( ph -> U e. P )
49		axtgpasch.5	. . . 4 |- ( ph -> V e. P )
50		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( u e. ( X I Z ) <-> U e. ( X I Z ) ) )
51	50	anbi1d 741	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) <-> ( U e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) ) )
52		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( u I Y ) = ( U I Y ) )
53	52	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( a e. ( u I Y ) <-> a e. ( U I Y ) ) )
54	53	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) <-> ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
55	54	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) <-> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) )
56	51, 55	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) <-> ( ( U e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) ) )
57		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( v e. ( Y I Z ) <-> V e. ( Y I Z ) ) )
58	57	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( U e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) <-> ( U e. ( X I Z ) /\ V e. ( Y I Z ) ) ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( v I X ) = ( V I X ) )
60	59	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( a e. ( v I X ) <-> a e. ( V I X ) ) )
61	60	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) <-> ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) ) )
62	61	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) <-> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) ) )
63	58, 62	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( v = V -> ( ( ( U e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) <-> ( ( U e. ( X I Z ) /\ V e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) ) ) )
64	56, 63	rspc2v 3322	. . . 4 |- ( ( U e. P /\ V e. P ) -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) -> ( ( U e. ( X I Z ) /\ V e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) ) ) )
65	48, 49, 64	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( X I Z ) /\ v e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I Y ) /\ a e. ( v I X ) ) ) -> ( ( U e. ( X I Z ) /\ V e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) ) ) )
66	47, 65	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( ( U e. ( X I Z ) /\ V e. ( Y I Z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) ) )
67	1, 2, 66	mp2and 715	1 |- ( ph -> E. a e. P ( a e. ( U I Y ) /\ a e. ( V I X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  TarskiG_Ccstrkgc 25330  TarskiG_Bcstrkgb 25331  TarskiG_CBcstrkgcb 25332  Itvcitv 25335  LineGclng 25336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkgb 25348  df-trkg 25352

This theorem is referenced by:  tgbtwncom  25383  tgbtwnswapid  25387  tgbtwnintr  25388  tgtrisegint  25394  tgbtwnconn1  25470  midexlem  25587  opphllem  25627  opphllem1  25639  outpasch  25647  hlpasch  25648  lnopp2hpgb  25655  f1otrg  25751