Theorem krippenlem 25585

Description: Lemma for krippen 25586. We can assume krippen.7 "without loss of generality" (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirval.p	|- P = ( Base ` G )
mirval.d	|- .- = ( dist ` G )
mirval.i	|- I = (Itv ` G )
mirval.l	|- L = (LineG ` G )
mirval.s	|- S = (pInvG ` G )
mirval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
krippen.m	|- M = ( S ` X )
krippen.n	|- N = ( S ` Y )
krippen.a	|- ( ph -> A e. P )
krippen.b	|- ( ph -> B e. P )
krippen.c	|- ( ph -> C e. P )
krippen.e	|- ( ph -> E e. P )
krippen.f	|- ( ph -> F e. P )
krippen.x	|- ( ph -> X e. P )
krippen.y	|- ( ph -> Y e. P )
krippen.1	|- ( ph -> C e. ( A I E ) )
krippen.2	|- ( ph -> C e. ( B I F ) )
krippen.3	|- ( ph -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
krippen.4	|- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
krippen.5	|- ( ph -> B = ( M ` A ) )
krippen.6	|- ( ph -> F = ( N ` E ) )
krippen.l	|- .<_ = (≤G ` G )
krippen.7	|- ( ph -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )

Assertion

Ref	Expression
krippenlem	|- ( ph -> C e. ( X I Y ) )

Proof of Theorem krippenlem

Dummy variable q is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krippen.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( A I E ) )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. ( A I E ) )
3		mirval.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
4		mirval.d	. . . . . . 7 |- .- = ( dist ` G )
5		mirval.i	. . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
6		mirval.g	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TarskiG )
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> G e. TarskiG )
8		krippen.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. P )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. P )
10		krippen.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. P )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> A e. P )
12		krippen.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. P )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> B e. P )
14		krippen.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
16		krippen.l	. . . . . . . 8 |- .<_ = (≤G ` G )
17		krippen.7	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
19		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E = C ) -> E = C )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- C ) )
21	18, 20	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- C ) )
22	3, 4, 5, 16, 7, 9, 11, 9, 13, 21	legeq 25488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = A )
23	3, 4, 5, 7, 9, 11, 9, 13, 15, 22	tgcgreq 25377	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = B )
24		krippen.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( M ` A ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> B = ( M ` A ) )
26	23, 22, 25	3eqtr3rd 2665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( M ` A ) = A )
27		mirval.l	. . . . . 6 |- L = (LineG ` G )
28		mirval.s	. . . . . 6 |- S = (pInvG ` G )
29		krippen.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. P )
30	29	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> X e. P )
31		krippen.m	. . . . . 6 |- M = ( S ` X )
32	3, 4, 5, 27, 28, 7, 30, 31, 11	mirinv 25561	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( ( M ` A ) = A <-> X = A ) )
33	26, 32	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = C ) -> X = A )
34		krippen.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. P )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> F e. P )
36		krippen.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
38	37, 20	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( C .- F ) = ( C .- C ) )
39	3, 4, 5, 7, 9, 35, 9, 38	axtgcgrid 25362	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C = F )
40		krippen.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( N ` E ) )
41	40	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> F = ( N ` E ) )
42	19, 39, 41	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( N ` E ) = E )
43		krippen.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. P )
44	43	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> Y e. P )
45		krippen.n	. . . . . 6 |- N = ( S ` Y )
46		krippen.e	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. P )
47	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = C ) -> E e. P )
48	3, 4, 5, 27, 28, 7, 44, 45, 47	mirinv 25561	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( ( N ` E ) = E <-> Y = E ) )
49	42, 48	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = C ) -> Y = E )
50	33, 49	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ E = C ) -> ( X I Y ) = ( A I E ) )
51	2, 50	eleqtrrd 2704	. 2 |- ( ( ph /\ E = C ) -> C e. ( X I Y ) )
52	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> G e. TarskiG )
53	52	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> G e. TarskiG )
54	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> C e. P )
55		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S ` C ) = ( S ` C )
56	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55	mirf 25555	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( S ` C ) : P --> P )
57	43	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. P )
58	56, 57	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
59	58	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
60		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. P )
61	54	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. P )
62	57	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> Y e. P )
63		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
64	3, 4, 5, 27, 28, 6, 8, 55, 43	mirbtwn 25553	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I Y ) )
65	64	ad3antrrr 766	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I Y ) )
66	3, 4, 5, 53, 59, 60, 61, 62, 63, 65	tgbtwnexch3 25389	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( q I Y ) )
67	29	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> X e. P )
68	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. P )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> A e. P )
70	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. P )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B e. P )
72		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( S ` q ) = ( S ` q )
73	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> E e. P )
74	56, 73	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
75	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F e. P )
76	56, 75	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
77	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> G e. TarskiG )
78	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. P )
79	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
80	3, 4, 5, 77, 78, 79	tgbtwntriv1 25386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. ( A I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
81		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A = C )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> ( A I ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
83	80, 82	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A = C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
84	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> G e. TarskiG )
85	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> A e. P )
86	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` E ) e. P )
87	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. P )
88	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> E e. P )
89		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> E =/= C )
90	3, 4, 5, 6, 10, 8, 46, 1	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. ( E I A ) )
91	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( E I A ) )
92	3, 4, 5, 27, 28, 84, 87, 55, 88	mirbtwn 25553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I E ) )
93	3, 4, 5, 84, 86, 87, 88, 92	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> C e. ( E I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
94	3, 5, 84, 88, 87, 85, 86, 89, 91, 93	tgbtwnconn2 25471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) \/ ( ( S ` C ) ` E ) e. ( C I A ) ) )
95	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- E ) )
96	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73	mircgr 25552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C .- E ) )
97	95, 96	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> ( C .- A ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
99	3, 4, 5, 16, 84, 85, 86, 87, 85, 94, 98	legbtwn 25489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ A =/= C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
100	83, 99	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. ( C I ( ( S ` C ) ` E ) ) )
101	3, 4, 5, 52, 54, 68, 74, 100	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> A e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I C ) )
102	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> G e. TarskiG )
103	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. P )
104	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
105	3, 4, 5, 102, 103, 104	tgbtwntriv1 25386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. ( B I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B = C )
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> ( B I ( ( S ` C ) ` F ) ) = ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
108	105, 107	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B = C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
109	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> G e. TarskiG )
110	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> B e. P )
111	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` F ) e. P )
112	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. P )
113	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> F e. P )
114	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> G e. TarskiG )
115	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> C e. P )
116	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> E e. P )
117	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ F = C ) -> F = C )
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- F ) = ( C .- C ) )
120	117, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ F = C ) -> ( C .- E ) = ( C .- C ) )
121	3, 4, 5, 114, 115, 116, 115, 120	axtgcgrid 25362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ F = C ) -> C = E )
122	121	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ F = C ) -> E = C )
123	122	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> E = C )
124		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> E =/= C )
125	124	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ F = C ) -> -. E = C )
126	123, 125	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> -. F = C )
127	126	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F =/= C )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> F =/= C )
129		krippen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> C e. ( B I F ) )
130	3, 4, 5, 6, 12, 8, 34, 129	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> C e. ( F I B ) )
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( F I B ) )
132	3, 4, 5, 27, 28, 109, 112, 55, 113	mirbtwn 25553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( ( ( S ` C ) ` F ) I F ) )
133	3, 4, 5, 109, 111, 112, 113, 132	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> C e. ( F I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
134	3, 5, 109, 113, 112, 110, 111, 128, 131, 133	tgbtwnconn2 25471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) \/ ( ( S ` C ) ` F ) e. ( C I B ) ) )
135	17, 14, 36	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( C .- B ) .<_ ( C .- F ) )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- F ) )
137	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 75	mircgr 25552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) = ( C .- F ) )
138	136, 137	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> ( C .- B ) .<_ ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
140	3, 4, 5, 16, 109, 110, 111, 112, 110, 134, 139	legbtwn 25489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ B =/= C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
141	108, 140	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. ( C I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
142	3, 4, 5, 52, 54, 70, 76, 141	tgbtwncom 25383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> B e. ( ( ( S ` C ) ` F ) I C ) )
143	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- E ) = ( C .- F ) )
144	143, 96, 137	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( C .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
145	3, 4, 5, 52, 54, 74, 54, 76, 144	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) .- C ) = ( ( ( S ` C ) ` F ) .- C ) )
146	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
147	3, 4, 5, 52, 54, 68, 54, 70, 146	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( A .- C ) = ( B .- C ) )
148		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) )
149	3, 4, 5, 27, 28, 52, 58, 148, 74	mircgr 25552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` E ) ) )
150		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` Y ) = ( ( S ` C ) ` Y )
151		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` E ) = ( ( S ` C ) ` E )
152		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S ` C ) ` F ) = ( ( S ` C ) ` F )
153	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> F = ( N ` E ) )
154	45	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N ` E ) = ( ( S ` Y ) ` E )
155	153, 154	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` Y ) ` E ) = F )
156	3, 4, 5, 27, 28, 52, 55, 150, 151, 152, 54, 57, 73, 75, 155	mirauto 25579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( ( S ` C ) ` F ) )
157	156	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` ( ( S ` C ) ` Y ) ) ` ( ( S ` C ) ` E ) ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
158	149, 157	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` E ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- ( ( S ` C ) ` F ) ) )
159	3, 4, 5, 52, 58, 74, 58, 76, 158	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` E ) .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( ( ( S ` C ) ` F ) .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
160		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( C .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( C .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
161	3, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 58, 76, 70, 54, 58, 101, 142, 145, 147, 159, 160	tgifscgr 25403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( A .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( B .- ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
162	3, 4, 5, 52, 68, 58, 70, 58, 161	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
163	162	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
164	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> G e. TarskiG )
165	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
166	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. P )
167	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
168		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) = C )
169	168	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) I ( ( S ` C ) ` Y ) ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
170	167, 169	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I ( ( S ` C ) ` Y ) ) )
171	3, 4, 5, 164, 165, 166, 170	axtgbtwnid 25365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) = q )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( q .- A ) )
173	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) = ( q .- B ) )
174	163, 172, 173	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) = C ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
175	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> G e. TarskiG )
176	58	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
177	54	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> C e. P )
178	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> q e. P )
179		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
180	68	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> A e. P )
181	70	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> B e. P )
182		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C )
183	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. P )
184	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) )
185	3, 27, 5, 175, 183, 178, 177, 184	btwncolg3 25452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( C e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) L q ) \/ ( ( S ` C ) ` Y ) = q ) )
186	162	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- A ) = ( ( ( S ` C ) ` Y ) .- B ) )
187	146	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( C .- A ) = ( C .- B ) )
188	3, 27, 5, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 4, 182, 185, 186, 187	lncgr 25464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) /\ ( ( S ` C ) ` Y ) =/= C ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
189	174, 188	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q .- A ) = ( q .- B ) )
190	189	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q .- B ) = ( q .- A ) )
191		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( A I B ) )
192	3, 4, 5, 53, 69, 60, 71, 191	tgbtwncom 25383	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q e. ( B I A ) )
193	3, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 72, 69, 71, 190, 192	ismir 25554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B = ( ( S ` q ) ` A ) )
194	193	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` q ) ` A ) = B )
195	24	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> B = ( M ` A ) )
196	31	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( M ` A ) = ( ( S ` X ) ` A )
197	195, 196	syl6req 2673	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( ( S ` X ) ` A ) = B )
198	3, 4, 5, 27, 28, 53, 60, 67, 69, 71, 194, 197	miduniq 25580	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> q = X )
199	198	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> ( q I Y ) = ( X I Y ) )
200	66, 199	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ E =/= C ) /\ q e. P ) /\ ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) ) -> C e. ( X I Y ) )
201	3, 4, 5, 27, 28, 52, 57, 45, 73	mirbtwn 25553	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( ( N ` E ) I E ) )
202	153	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( F I E ) = ( ( N ` E ) I E ) )
203	201, 202	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( F I E ) )
204	3, 4, 5, 52, 75, 57, 73, 203	tgbtwncom 25383	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> Y e. ( E I F ) )
205	3, 4, 5, 27, 28, 52, 54, 55, 73, 57, 75, 204	mirbtwni 25566	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> ( ( S ` C ) ` Y ) e. ( ( ( S ` C ) ` E ) I ( ( S ` C ) ` F ) ) )
206	3, 4, 5, 52, 74, 68, 54, 76, 70, 58, 101, 142, 205	tgtrisegint 25394	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> E. q e. P ( q e. ( ( ( S ` C ) ` Y ) I C ) /\ q e. ( A I B ) ) )
207	200, 206	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ph /\ E =/= C ) -> C e. ( X I Y ) )
208	51, 207	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> C e. ( X I Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  cgrGccgrg 25405  ≤Gcleg 25477  pInvGcmir 25547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-mir 25548

This theorem is referenced by:  krippen  25586