Theorem toslublem 29667

Description: Lemma for toslub 29668 and xrsclat 29680. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
toslub.b	|- B = ( Base ` K )
toslub.l	|- .< = ( lt ` K )
toslub.1	|- ( ph -> K e. Toset )
toslub.2	|- ( ph -> A C_ B )
toslub.e	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
toslublem	|- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( A. b e. A b .<_ a /\ A. c e. B ( A. b e. A b .<_ c -> a .<_ c ) ) <-> ( A. b e. A -. a .< b /\ A. b e. B ( b .< a -> E. d e. A b .< d ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, d, .<   A, a, b, c, d   B, a, b, c, d   K, a, b, c   ph, a, b, c

Allowed substitution hints:   ph( d)   K( d)   .<_ ( a, b, c, d)

Proof of Theorem toslublem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toslub.1	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. Toset )
2	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> K e. Toset )
3		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> a e. B )
4		toslub.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ B )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> A C_ B )
6	5	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> b e. B )
7		toslub.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
8		toslub.e	. . . . . 6 |- .<_ = ( le ` K )
9		toslub.l	. . . . . 6 |- .< = ( lt ` K )
10	7, 8, 9	tltnle 29662	. . . . 5 |- ( ( K e. Toset /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a .< b <-> -. b .<_ a ) )
11	2, 3, 6, 10	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> ( a .< b <-> -. b .<_ a ) )
12	11	con2bid 344	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. A ) -> ( b .<_ a <-> -. a .< b ) )
13	12	ralbidva 2985	. 2 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. A b .<_ a <-> A. b e. A -. a .< b ) )
14	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> A C_ B )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> b e. A )
16	14, 15	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> b e. B )
17	7, 8, 9	tltnle 29662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. Toset /\ c e. B /\ b e. B ) -> ( c .< b <-> -. b .<_ c ) )
18	1, 17	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. B /\ b e. B ) -> ( c .< b <-> -. b .<_ c ) )
19	18	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. B ) -> ( c .< b <-> -. b .<_ c ) )
20	19	con2bid 344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. B ) -> ( b .<_ c <-> -. c .< b ) )
21	16, 20	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. B ) /\ b e. A ) -> ( b .<_ c <-> -. c .< b ) )
22	21	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. B ) -> ( A. b e. A b .<_ c <-> A. b e. A -. c .< b ) )
23		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( c .< b <-> c .< d ) )
24	23	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( b = d -> ( -. c .< b <-> -. c .< d ) )
25	24	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 |- ( A. b e. A -. c .< b <-> A. d e. A -. c .< d )
26		ralnex 2992	. . . . . . . . 9 |- ( A. d e. A -. c .< d <-> -. E. d e. A c .< d )
27	25, 26	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( A. b e. A -. c .< b <-> -. E. d e. A c .< d )
28	22, 27	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. B ) -> ( A. b e. A b .<_ c <-> -. E. d e. A c .< d ) )
29	28	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( A. b e. A b .<_ c <-> -. E. d e. A c .< d ) )
30	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> K e. Toset )
31		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> c e. B )
32		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> a e. B )
33	7, 8, 9	tltnle 29662	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Toset /\ c e. B /\ a e. B ) -> ( c .< a <-> -. a .<_ c ) )
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( c .< a <-> -. a .<_ c ) )
35	34	con2bid 344	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( a .<_ c <-> -. c .< a ) )
36	29, 35	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( A. b e. A b .<_ c -> a .<_ c ) <-> ( -. E. d e. A c .< d -> -. c .< a ) ) )
37		con34b 306	. . . . 5 |- ( ( c .< a -> E. d e. A c .< d ) <-> ( -. E. d e. A c .< d -> -. c .< a ) )
38	36, 37	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( A. b e. A b .<_ c -> a .<_ c ) <-> ( c .< a -> E. d e. A c .< d ) ) )
39	38	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. c e. B ( A. b e. A b .<_ c -> a .<_ c ) <-> A. c e. B ( c .< a -> E. d e. A c .< d ) ) )
40		breq1 4656	. . . . 5 |- ( b = c -> ( b .< a <-> c .< a ) )
41		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( b = c -> ( b .< d <-> c .< d ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( b = c -> ( E. d e. A b .< d <-> E. d e. A c .< d ) )
43	40, 42	imbi12d 334	. . . 4 |- ( b = c -> ( ( b .< a -> E. d e. A b .< d ) <-> ( c .< a -> E. d e. A c .< d ) ) )
44	43	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. b e. B ( b .< a -> E. d e. A b .< d ) <-> A. c e. B ( c .< a -> E. d e. A c .< d ) )
45	39, 44	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. c e. B ( A. b e. A b .<_ c -> a .<_ c ) <-> A. b e. B ( b .< a -> E. d e. A b .< d ) ) )
46	13, 45	anbi12d 747	1 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( ( A. b e. A b .<_ a /\ A. c e. B ( A. b e. A b .<_ c -> a .<_ c ) ) <-> ( A. b e. A -. a .< b /\ A. b e. B ( b .< a -> E. d e. A b .< d ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   ltcplt 16941  Tosetctos 17033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034

This theorem is referenced by:  toslub  29668  xrsclat  29680