Theorem umgr2v2eedg 26420

Description: The set of edges in a multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	|- G = <. V , { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } >.

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2eedg	|- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> (Edg ` G ) = { { A , B } } )

Proof of Theorem umgr2v2eedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 25941	. . 3 |- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
3		umgr2v2evtx.g	. . . 4 |- G = <. V , { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } >.
4	3	umgr2v2eiedg 26419	. . 3 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> (iEdg ` G ) = { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } )
5	4	rneqd 5353	. 2 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> ran (iEdg ` G ) = ran { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } )
6		c0ex 10034	. . . . 5 |- 0 e. _V
7		1ex 10035	. . . . 5 |- 1 e. _V
8		rnpropg 5615	. . . . 5 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) -> ran { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } = { { A , B } , { A , B } } )
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . 4 |- ran { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } = { { A , B } , { A , B } }
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> ran { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } = { { A , B } , { A , B } } )
11		dfsn2 4190	. . 3 |- { { A , B } } = { { A , B } , { A , B } }
12	10, 11	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> ran { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } = { { A , B } } )
13	2, 5, 12	3eqtrd 2660	1 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> (Edg ` G ) = { { A , B } } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   ran crn 5115   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-i2m1 10004

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-2nd 7169  df-iedg 25877  df-edg 25940

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  26422