Theorem umgr2v2e 26421

Description: A multigraph with two edges connecting the same two vertices. (Contributed by AV, 17-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2v2evtx.g	|- G = <. V , { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } >.

Assertion

Ref	Expression
umgr2v2e	|- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> G e. UMGraph )

Proof of Theorem umgr2v2e

Dummy variable e is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
2		1ex 10035	. . . . . . 7 |- 1 e. _V
3	1, 2	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V )
4		prex 4909	. . . . . . 7 |- { A , B } e. _V
5	4, 4	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( { A , B } e. _V /\ { A , B } e. _V )
6		0ne1 11088	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> 0 =/= 1 )
8		fprg 6422	. . . . . 6 |- ( ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) /\ ( { A , B } e. _V /\ { A , B } e. _V ) /\ 0 =/= 1 ) -> { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } : { 0 , 1 } --> { { A , B } , { A , B } } )
9	3, 5, 7, 8	mp3an12i 1428	. . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } : { 0 , 1 } --> { { A , B } , { A , B } } )
10		dfsn2 4190	. . . . . 6 |- { { A , B } } = { { A , B } , { A , B } }
11		prelpwi 4915	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> { A , B } e. ~P V )
12	11	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> { A , B } e. ~P V )
13		umgr2v2evtx.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = <. V , { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } >.
14	13	umgr2v2evtx 26417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V e. W -> (Vtx ` G ) = V )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> (Vtx ` G ) = V )
16	15	pweqd 4163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> ~P (Vtx ` G ) = ~P V )
17	12, 16	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> { A , B } e. ~P (Vtx ` G ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { A , B } e. ~P (Vtx ` G ) )
19		hashprg 13182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )
20	19	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B -> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )
21	20	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B -> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A , B } ) = 2 )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { A , B } -> ( # ` e ) = ( # ` { A , B } ) )
24	23	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( e = { A , B } -> ( ( # ` e ) = 2 <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )
25	24	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( { A , B } e. { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } <-> ( { A , B } e. ~P (Vtx ` G ) /\ ( # ` { A , B } ) = 2 ) )
26	18, 22, 25	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { A , B } e. { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } )
27	26	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { { A , B } } C_ { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } )
28	10, 27	syl5eqssr 3650	. . . . 5 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { { A , B } , { A , B } } C_ { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } )
29	9, 28	fssd 6057	. . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } : { 0 , 1 } --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } )
30	29	ffdmd 6063	. . 3 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } : dom { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } )
31	13	umgr2v2eiedg 26419	. . . . 5 |- ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) -> (iEdg ` G ) = { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> (iEdg ` G ) = { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } )
33	32	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } )
34	32, 33	feq12d 6033	. . 3 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } <-> { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } : dom { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } ) )
35	30, 34	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } )
36		opex 4932	. . . 4 |- <. V , { <. 0 , { A , B } >. , <. 1 , { A , B } >. } >. e. _V
37	13, 36	eqeltri 2697	. . 3 |- G e. _V
38		eqid 2622	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
39		eqid 2622	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
40	38, 39	isumgrs 25991	. . 3 |- ( G e. _V -> ( G e. UMGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } ) )
41	37, 40	mp1i 13	. 2 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( G e. UMGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) --> { e e. ~P (Vtx ` G ) | ( # ` e ) = 2 } ) )
42	35, 41	mpbird 247	1 |- ( ( ( V e. W /\ A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> G e. UMGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UMGraph cumgr 25976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-umgr 25978

This theorem is referenced by:  umgr2v2enb1  26422  umgr2v2evd2  26423