Theorem unidif0 4838

Description: The removal of the empty set from a class does not affect its union. (Contributed by NM, 22-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
unidif0	|- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Proof of Theorem unidif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniun 4456	. . . 4 |- U. ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) = ( U. ( A \ { (/) } ) u. U. { (/) } )
2		undif1 4043	. . . . . 6 |- ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } ) = ( A u. { (/) } )
3		uncom 3757	. . . . . 6 |- ( A u. { (/) } ) = ( { (/) } u. A )
4	2, 3	eqtr2i 2645	. . . . 5 |- ( { (/) } u. A ) = ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
5	4	unieqi 4445	. . . 4 |- U. ( { (/) } u. A ) = U. ( ( A \ { (/) } ) u. { (/) } )
6		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
7	6	unisn 4451	. . . . . 6 |- U. { (/) } = (/)
8	7	uneq2i 3764	. . . . 5 |- ( U. ( A \ { (/) } ) u. U. { (/) } ) = ( U. ( A \ { (/) } ) u. (/) )
9		un0 3967	. . . . 5 |- ( U. ( A \ { (/) } ) u. (/) ) = U. ( A \ { (/) } )
10	8, 9	eqtr2i 2645	. . . 4 |- U. ( A \ { (/) } ) = ( U. ( A \ { (/) } ) u. U. { (/) } )
11	1, 5, 10	3eqtr4ri 2655	. . 3 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. ( { (/) } u. A )
12		uniun 4456	. . 3 |- U. ( { (/) } u. A ) = ( U. { (/) } u. U. A )
13	7	uneq1i 3763	. . 3 |- ( U. { (/) } u. U. A ) = ( (/) u. U. A )
14	11, 12, 13	3eqtri 2648	. 2 |- U. ( A \ { (/) } ) = ( (/) u. U. A )
15		uncom 3757	. 2 |- ( (/) u. U. A ) = ( U. A u. (/) )
16		un0 3967	. 2 |- ( U. A u. (/) ) = U. A
17	14, 15, 16	3eqtri 2648	1 |- U. ( A \ { (/) } ) = U. A

Syntax hints:   = wceq 1483   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  infeq5i  8533  zornn0g  9327  basdif0  20757  tgdif0  20796  omsmeas  30385  stoweidlem57  40274