Theorem zornn0g 9327

Description: Variant of Zorn's lemma zorng 9326 in which (/), the union of the empty chain, is not required to be an element of A. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zornn0g	|- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem zornn0g

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> A =/= (/) )
2		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> A e. dom card )
3		snfi 8038	. . . . 5 |- { (/) } e. Fin
4		finnum 8774	. . . . 5 |- ( { (/) } e. Fin -> { (/) } e. dom card )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- { (/) } e. dom card
6		unnum 9022	. . . 4 |- ( ( A e. dom card /\ { (/) } e. dom card ) -> ( A u. { (/) } ) e. dom card )
7	2, 5, 6	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> ( A u. { (/) } ) e. dom card )
8		uncom 3757	. . . . . . . . 9 |- ( A u. { (/) } ) = ( { (/) } u. A )
9	8	sseq2i 3630	. . . . . . . 8 |- ( w C_ ( A u. { (/) } ) <-> w C_ ( { (/) } u. A ) )
10		ssundif 4052	. . . . . . . 8 |- ( w C_ ( { (/) } u. A ) <-> ( w \ { (/) } ) C_ A )
11	9, 10	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( w C_ ( A u. { (/) } ) <-> ( w \ { (/) } ) C_ A )
12		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( w \ { (/) } ) C_ w
13		soss 5053	. . . . . . . . 9 |- ( ( w \ { (/) } ) C_ w -> ( [ C.] Or w -> [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( [ C.] Or w -> [ C.] Or ( w \ { (/) } ) )
15		ssdif0 3942	. . . . . . . . . . 11 |- ( w C_ { (/) } <-> ( w \ { (/) } ) = (/) )
16		uni0b 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. w = (/) <-> w C_ { (/) } )
17	16	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w C_ { (/) } -> U. w = (/) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( w C_ { (/) } -> ( U. w e. ( A u. { (/) } ) <-> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) )
19	15, 18	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w \ { (/) } ) = (/) -> ( U. w e. ( A u. { (/) } ) <-> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( ( w \ { (/) } ) = (/) -> ( ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) <-> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) ) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. _V
22		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. _V -> ( w \ { (/) } ) e. _V )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w \ { (/) } ) e. _V
24		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( z C_ A <-> ( w \ { (/) } ) C_ A ) )
25		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) )
26		soeq2 5055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( [ C.] Or z <-> [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) )
27	24, 25, 26	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) <-> ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) ) )
28		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> U. z = U. ( w \ { (/) } ) )
29	28	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( U. z e. A <-> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) )
30	27, 29	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( w \ { (/) } ) -> ( ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) <-> ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) ) )
31	23, 30	spcv 3299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) )
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) )
33	32	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) )
34	33	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. ( w \ { (/) } ) e. A ) )
35		unidif0 4838	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( w \ { (/) } ) = U. w
36	35	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ( w \ { (/) } ) e. A <-> U. w e. A )
37		elun1 3780	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. w e. A -> U. w e. ( A u. { (/) } ) )
38	36, 37	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ( w \ { (/) } ) e. A -> U. w e. ( A u. { (/) } ) )
39	34, 38	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) /\ ( w \ { (/) } ) =/= (/) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
40		0ex 4790	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
41	40	snid 4208	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. { (/) }
42		elun2 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. { (/) } -> (/) e. ( A u. { (/) } ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. ( A u. { (/) } )
44	43	2a1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> (/) e. ( A u. { (/) } ) ) )
45	20, 39, 44	pm2.61ne 2879	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [ C.] Or ( w \ { (/) } ) ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
46	14, 45	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( w \ { (/) } ) C_ A /\ [ C.] Or w ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
47	11, 46	sylanb 489	. . . . . 6 |- ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [ C.] Or w ) -> ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
48	47	com12 32	. . . . 5 |- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [ C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
49	48	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) -> A. w ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [ C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
50	49	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> A. w ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [ C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) )
51		zorng 9326	. . 3 |- ( ( ( A u. { (/) } ) e. dom card /\ A. w ( ( w C_ ( A u. { (/) } ) /\ [ C.] Or w ) -> U. w e. ( A u. { (/) } ) ) ) -> E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y )
52	7, 50, 51	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y )
53		ssun1 3776	. . . . 5 |- A C_ ( A u. { (/) } )
54		ssralv 3666	. . . . 5 |- ( A C_ ( A u. { (/) } ) -> ( A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y -> A. y e. A -. x C. y ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y -> A. y e. A -. x C. y )
56	55	reximi 3011	. . 3 |- ( E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y -> E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. A -. x C. y )
57		rexun 3793	. . . 4 |- ( E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. A -. x C. y <-> ( E. x e. A A. y e. A -. x C. y \/ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) )
58		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. A A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )
59		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y )
60		psseq1 3694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> ( x C. y <-> (/) C. y ) )
61		0pss 4013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) C. y <-> y =/= (/) )
62	60, 61	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( x C. y <-> y =/= (/) ) )
63	62	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( -. x C. y <-> -. y =/= (/) ) )
64		nne 2798	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. y =/= (/) <-> y = (/) )
65	63, 64	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( -. x C. y <-> y = (/) ) )
66	65	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A. y e. A -. x C. y <-> A. y e. A y = (/) ) )
67	40, 66	rexsn 4223	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y <-> A. y e. A y = (/) )
68		eqsn 4361	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( A = { (/) } <-> A. y e. A y = (/) ) )
69	68	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. y e. A y = (/) ) -> A = { (/) } )
70	67, 69	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> A = { (/) } )
71	70	rexeqdv 3145	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> ( E. x e. A A. y e. A -. x C. y <-> E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) )
72	59, 71	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )
73	58, 72	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ ( E. x e. A A. y e. A -. x C. y \/ E. x e. { (/) } A. y e. A -. x C. y ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )
74	57, 73	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. A -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )
75	56, 74	sylan2 491	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ E. x e. ( A u. { (/) } ) A. y e. ( A u. { (/) } ) -. x C. y ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )
76	1, 52, 75	syl2anc 693	1 |- ( ( A e. dom card /\ A =/= (/) /\ A. z ( ( z C_ A /\ z =/= (/) /\ [ C.] Or z ) -> U. z e. A ) ) -> E. x e. A A. y e. A -. x C. y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   Or wor 5034   dom cdm 5114   [ C.] crpss 6936   Fincfn 7955   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  zornn0  9330  pgpfac1lem5  18478  lbsextlem4  19161  filssufilg  21715