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Theorem stoweidlem57 40274
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1 |- F/_ t D
stoweidlem57.2 |- F/_ t U
stoweidlem57.3 |- F/ t ph
stoweidlem57.4 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
stoweidlem57.5 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
stoweidlem57.6 |- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem57.7 |- T = U. J
stoweidlem57.8 |- C = ( J Cn K )
stoweidlem57.9 |- U = ( T \ B )
stoweidlem57.10 |- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem57.11 |- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem57.12 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem57.13 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem57.14 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
stoweidlem57.15 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem57.16 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem57.17 |- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
stoweidlem57.18 |- ( ph -> ( B i^i D ) = (/) )
stoweidlem57.19 |- ( ph -> D =/= (/) )
stoweidlem57.20 |- ( ph -> E e. RR+ )
stoweidlem57.21 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
Distinct variable groups:   e, a, f, t   q, a, r, f, t, A   A, e, f, t   D, a, e, f   T, a, e, f, t   U, a, e, f   ph, a, e, f   e, g, h, f, t, A   w, e, h, t, A   e, E, f, g, h, t   g, r, h, A   x, f, g, h, t, A   B, f, g, r   f, V, g, r   f, Y, g, r   g, q, D   D, h, r   g, J, h, t   T, g, h, r   U, g, h, r   ph, g, h, r   w, r, E   A, q   D, q   T, q   U, q   ph, q   w, D   w, B   t, K   ph, w   w, J   w, T   w, U   w, Y   x, B   x, D   x, E   x, T
Allowed substitution hints:   ph( x, t)   B( t, e, h, q, a)   C( x, w, t, e, f, g, h, r, q, a)   D( t)   U( x, t)   E( q, a)   J( x, e, f, r, q, a)   K( x, w, e, f, g, h, r, q, a)   V( x, w, t, e, h, q, a)   Y( x, t, e, h, q, a)
Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables k s m i v y u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10 |- F/_ t U
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11 |- F/ t ph
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t D
43nfcri 2758 . . . . . . . . . . 11 |- F/ t s e. D
52, 4nfan 1828 . . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ s e. D )
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10 |- K = ( topGen ` ran (,) )
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. Comp )
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> J e. Comp )
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10 |- T = U. J
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10 |- C = ( J Cn K )
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ C )
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> A C_ C )
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
14133adant1r 1319 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. D ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
16153adant1r 1319 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. D ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
1817adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. D ) /\ a e. RR ) -> ( t e. T |-> a ) e. A )
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
2019adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. D ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12 |- U = ( T \ B )
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( Clsd ` J ) )
23 cmptop 21198 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
249iscld 20831 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J e. Top -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> ( B C_ T /\ ( T \ B ) e. J ) ) )
257, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B e. ( Clsd ` J ) <-> ( B C_ T /\ ( T \ B ) e. J ) ) )
2622, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B C_ T /\ ( T \ B ) e. J ) )
2726simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T \ B ) e. J )
2821, 27syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. J )
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> U e. J )
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. ( Clsd ` J ) )
319cldss 20833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( Clsd ` J ) -> D C_ T )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D C_ T )
3332sselda 3603 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> s e. T )
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B i^i D ) = (/) )
35 disjr 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B i^i D ) = (/) <-> A. s e. D -. s e. B )
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. s e. D -. s e. B )
3736r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> -. s e. B )
3833, 37eldifd 3585 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> s e. ( T \ B ) )
3938, 21syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> s e. U )
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 40273 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> E. w e. J ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
41 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. J /\ ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) ) -> w e. J )
42 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. J /\ ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) ) -> s e. w )
43 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. J /\ ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) )
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13 |- V = { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
4544rabeq2i 3197 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. V <-> ( w e. J /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) )
4641, 43, 45sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. J /\ ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) ) -> w e. V )
4741, 42, 46jca32 558 . . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. J /\ ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) ) -> ( w e. J /\ ( s e. w /\ w e. V ) ) )
4847reximi2 3010 . . . . . . . . 9 |- ( E. w e. J ( ( s e. w /\ w C_ U ) /\ A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) ) -> E. w e. J ( s e. w /\ w e. V ) )
49 rexex 3002 . . . . . . . . 9 |- ( E. w e. J ( s e. w /\ w e. V ) -> E. w ( s e. w /\ w e. V ) )
5040, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> E. w ( s e. w /\ w e. V ) )
51 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ w s
52 nfrab1 3122 . . . . . . . . . 10 |- F/_ w { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
5344, 52nfcxfr 2762 . . . . . . . . 9 |- F/_ w V
5451, 53elunif 39175 . . . . . . . 8 |- ( s e. U. V <-> E. w ( s e. w /\ w e. V ) )
5550, 54sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. D ) -> s e. U. V )
5655ex 450 . . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. D -> s e. U. V ) )
5756ssrdv 3609 . . . . 5 |- ( ph -> D C_ U. V )
58 cmpcld 21205 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ D e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t D ) e. Comp )
597, 30, 58syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t D ) e. Comp )
607, 23syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Top )
619cmpsub 21203 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ D C_ T ) -> ( ( J ↾t D ) e. Comp <-> A. k e. ~P J ( D C_ U. k -> E. u e. ( ~P k i^i Fin ) D C_ U. u ) ) )
6260, 32, 61syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( J ↾t D ) e. Comp <-> A. k e. ~P J ( D C_ U. k -> E. u e. ( ~P k i^i Fin ) D C_ U. u ) ) )
6359, 62mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ~P J ( D C_ U. k -> E. u e. ( ~P k i^i Fin ) D C_ U. u ) )
64 ssrab2 3687 . . . . . . . 8 |- { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) } C_ J
6544, 64eqsstri 3635 . . . . . . 7 |- V C_ J
6644, 7rabexd 4814 . . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. _V )
67 elpwg 4166 . . . . . . . 8 |- ( V e. _V -> ( V e. ~P J <-> V C_ J ) )
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( V e. ~P J <-> V C_ J ) )
6965, 68mpbiri 248 . . . . . 6 |- ( ph -> V e. ~P J )
70 unieq 4444 . . . . . . . . 9 |- ( k = V -> U. k = U. V )
7170sseq2d 3633 . . . . . . . 8 |- ( k = V -> ( D C_ U. k <-> D C_ U. V ) )
72 pweq 4161 . . . . . . . . . 10 |- ( k = V -> ~P k = ~P V )
7372ineq1d 3813 . . . . . . . . 9 |- ( k = V -> ( ~P k i^i Fin ) = ( ~P V i^i Fin ) )
7473rexeqdv 3145 . . . . . . . 8 |- ( k = V -> ( E. u e. ( ~P k i^i Fin ) D C_ U. u <-> E. u e. ( ~P V i^i Fin ) D C_ U. u ) )
7571, 74imbi12d 334 . . . . . . 7 |- ( k = V -> ( ( D C_ U. k -> E. u e. ( ~P k i^i Fin ) D C_ U. u ) <-> ( D C_ U. V -> E. u e. ( ~P V i^i Fin ) D C_ U. u ) ) )
7675rspccva 3308 . . . . . 6 |- ( ( A. k e. ~P J ( D C_ U. k -> E. u e. ( ~P k i^i Fin ) D C_ U. u ) /\ V e. ~P J ) -> ( D C_ U. V -> E. u e. ( ~P V i^i Fin ) D C_ U. u ) )
7763, 69, 76syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( D C_ U. V -> E. u e. ( ~P V i^i Fin ) D C_ U. u ) )
7857, 77mpd 15 . . . 4 |- ( ph -> E. u e. ( ~P V i^i Fin ) D C_ U. u )
79 elinel1 3799 . . . . . . . . 9 |- ( u e. ( ~P V i^i Fin ) -> u e. ~P V )
80 elpwi 4168 . . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ~P V -> u C_ V )
8180ssdifssd 3748 . . . . . . . . . 10 |- ( u e. ~P V -> ( u \ { (/) } ) C_ V )
82 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
83 difexg 4808 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. _V -> ( u \ { (/) } ) e. _V )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( u \ { (/) } ) e. _V
8584elpw 4164 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u \ { (/) } ) e. ~P V <-> ( u \ { (/) } ) C_ V )
8681, 85sylibr 224 . . . . . . . . 9 |- ( u e. ~P V -> ( u \ { (/) } ) e. ~P V )
8779, 86syl 17 . . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P V i^i Fin ) -> ( u \ { (/) } ) e. ~P V )
88 elinel2 3800 . . . . . . . . 9 |- ( u e. ( ~P V i^i Fin ) -> u e. Fin )
89 diffi 8192 . . . . . . . . 9 |- ( u e. Fin -> ( u \ { (/) } ) e. Fin )
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P V i^i Fin ) -> ( u \ { (/) } ) e. Fin )
9187, 90elind 3798 . . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P V i^i Fin ) -> ( u \ { (/) } ) e. ( ~P V i^i Fin ) )
92913ad2ant2 1083 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ~P V i^i Fin ) /\ D C_ U. u ) -> ( u \ { (/) } ) e. ( ~P V i^i Fin ) )
93 unidif0 4838 . . . . . . . . 9 |- U. ( u \ { (/) } ) = U. u
9493sseq2i 3630 . . . . . . . 8 |- ( D C_ U. ( u \ { (/) } ) <-> D C_ U. u )
9594biimpri 218 . . . . . . 7 |- ( D C_ U. u -> D C_ U. ( u \ { (/) } ) )
96953ad2ant3 1084 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ~P V i^i Fin ) /\ D C_ U. u ) -> D C_ U. ( u \ { (/) } ) )
97 eldifsni 4320 . . . . . . . 8 |- ( w e. ( u \ { (/) } ) -> w =/= (/) )
9897rgen 2922 . . . . . . 7 |- A. w e. ( u \ { (/) } ) w =/= (/)
9998a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ~P V i^i Fin ) /\ D C_ U. u ) -> A. w e. ( u \ { (/) } ) w =/= (/) )
100 unieq 4444 . . . . . . . . 9 |- ( r = ( u \ { (/) } ) -> U. r = U. ( u \ { (/) } ) )
101100sseq2d 3633 . . . . . . . 8 |- ( r = ( u \ { (/) } ) -> ( D C_ U. r <-> D C_ U. ( u \ { (/) } ) ) )
102 raleq 3138 . . . . . . . 8 |- ( r = ( u \ { (/) } ) -> ( A. w e. r w =/= (/) <-> A. w e. ( u \ { (/) } ) w =/= (/) ) )
103101, 102anbi12d 747 . . . . . . 7 |- ( r = ( u \ { (/) } ) -> ( ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) <-> ( D C_ U. ( u \ { (/) } ) /\ A. w e. ( u \ { (/) } ) w =/= (/) ) ) )
104103rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( ( u \ { (/) } ) e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. ( u \ { (/) } ) /\ A. w e. ( u \ { (/) } ) w =/= (/) ) ) -> E. r e. ( ~P V i^i Fin ) ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) )
10592, 96, 99, 104syl12anc 1324 . . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( ~P V i^i Fin ) /\ D C_ U. u ) -> E. r e. ( ~P V i^i Fin ) ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) )
106105rexlimdv3a 3033 . . . 4 |- ( ph -> ( E. u e. ( ~P V i^i Fin ) D C_ U. u -> E. r e. ( ~P V i^i Fin ) ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) )
10778, 106mpd 15 . . 3 |- ( ph -> E. r e. ( ~P V i^i Fin ) ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) )
108 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ h ph
109 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ h RR+
110 nfre1 3005 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ h E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) )
111109, 110nfral 2945 . . . . . . . . . . 11 |- F/ h A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) )
112 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ h J
113111, 112nfrab 3123 . . . . . . . . . 10 |- F/_ h { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
11444, 113nfcxfr 2762 . . . . . . . . 9 |- F/_ h V
115114nfpw 4172 . . . . . . . 8 |- F/_ h ~P V
116 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ h Fin
117115, 116nfin 3820 . . . . . . 7 |- F/_ h ( ~P V i^i Fin )
118117nfcri 2758 . . . . . 6 |- F/ h r e. ( ~P V i^i Fin )
119 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ h ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) )
120108, 118, 119nf3an 1831 . . . . 5 |- F/ h ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) )
121 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t RR+
122 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t A
123 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 )
124 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t A. t e. w ( h ` t ) < e
125 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ t A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t )
126123, 124, 125nf3an 1831 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ t ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) )
127122, 126nfrex 3007 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ t E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) )
128121, 127nfral 2945 . . . . . . . . . . 11 |- F/ t A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) )
129 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ t J
130128, 129nfrab 3123 . . . . . . . . . 10 |- F/_ t { w e. J | A. e e. RR+ E. h e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. w ( h ` t ) < e /\ A. t e. ( T \ U ) ( 1 - e ) < ( h ` t ) ) }
13144, 130nfcxfr 2762 . . . . . . . . 9 |- F/_ t V
132131nfpw 4172 . . . . . . . 8 |- F/_ t ~P V
133 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ t Fin
134132, 133nfin 3820 . . . . . . 7 |- F/_ t ( ~P V i^i Fin )
135134nfcri 2758 . . . . . 6 |- F/ t r e. ( ~P V i^i Fin )
136 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ t U. r
1373, 136nfss 3596 . . . . . . 7 |- F/ t D C_ U. r
138 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ t A. w e. r w =/= (/)
139137, 138nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ t ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) )
1402, 135, 139nf3an 1831 . . . . 5 |- F/ t ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) )
141 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ w ph
14253nfpw 4172 . . . . . . . 8 |- F/_ w ~P V
143 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ w Fin
144142, 143nfin 3820 . . . . . . 7 |- F/_ w ( ~P V i^i Fin )
145144nfcri 2758 . . . . . 6 |- F/ w r e. ( ~P V i^i Fin )
146 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ w D C_ U. r
147 nfra1 2941 . . . . . . 7 |- F/ w A. w e. r w =/= (/)
148146, 147nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ w ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) )
149141, 145, 148nf3an 1831 . . . . 5 |- F/ w ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) )
150 stoweidlem57.4 . . . . 5 |- Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
151 simp2 1062 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> r e. ( ~P V i^i Fin ) )
152 simp3l 1089 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> D C_ U. r )
153 stoweidlem57.19 . . . . . 6 |- ( ph -> D =/= (/) )
1541533ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> D =/= (/) )
155 stoweidlem57.20 . . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
1561553ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> E e. RR+ )
15726simpld 475 . . . . . 6 |- ( ph -> B C_ T )
1581573ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> B C_ T )
159663ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> V e. _V )
160 retop 22565 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
1616, 160eqeltri 2697 . . . . . . . 8 |- K e. Top
162 cnfex 39187 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J Cn K ) e. _V )
16360, 161, 162sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( J Cn K ) e. _V )
16411, 10syl6sseq 3651 . . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
165163, 164ssexd 4805 . . . . . 6 |- ( ph -> A e. _V )
1661653ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> A e. _V )
167120, 140, 149, 21, 150, 44, 151, 152, 154, 156, 158, 159, 166stoweidlem39 40256 . . . 4 |- ( ( ph /\ r e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) ) -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) )
168167rexlimdv3a 3033 . . 3 |- ( ph -> ( E. r e. ( ~P V i^i Fin ) ( D C_ U. r /\ A. w e. r w =/= (/) ) -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) )
169107, 168mpd 15 . 2 |- ( ph -> E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) )
170 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ i ( ph /\ m e. NN )
171 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ i v : ( 1 ... m ) --> V
172 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ i D C_ U. ran v
173 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ i y : ( 1 ... m ) --> Y
174 nfra1 2941 . . . . . . . . . 10 |- F/ i A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
175173, 174nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ i ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
176175nfex 2154 . . . . . . . 8 |- F/ i E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
177171, 172, 176nf3an 1831 . . . . . . 7 |- F/ i ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
178170, 177nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ i ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) )
179 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ t m e. NN
1802, 179nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ m e. NN )
181 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ t v
182 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ t ( 1 ... m )
183181, 182, 131nff 6041 . . . . . . . 8 |- F/ t v : ( 1 ... m ) --> V
184 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ t U. ran v
1853, 184nfss 3596 . . . . . . . 8 |- F/ t D C_ U. ran v
186 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ t y
187123, 122nfrab 3123 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
188150, 187nfcxfr 2762 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ t Y
189186, 182, 188nff 6041 . . . . . . . . . 10 |- F/ t y : ( 1 ... m ) --> Y
190 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m )
191 nfra1 2941 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ t A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t )
192190, 191nfan 1828 . . . . . . . . . . 11 |- F/ t ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
193182, 192nfral 2945 . . . . . . . . . 10 |- F/ t A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) )
194189, 193nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ t ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
195194nfex 2154 . . . . . . . 8 |- F/ t E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
196183, 185, 195nf3an 1831 . . . . . . 7 |- F/ t ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
197180, 196nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ t ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) )
198 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ m e. NN )
199 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ y v : ( 1 ... m ) --> V
200 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ y D C_ U. ran v
201 nfe1 2027 . . . . . . . 8 |- F/ y E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
202199, 200, 201nf3an 1831 . . . . . . 7 |- F/ y ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
203198, 202nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ y ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) )
204 nfv 1843 . . . . . . 7 |- F/ w ( ph /\ m e. NN )
205 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ w v
206 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ w ( 1 ... m )
207205, 206, 53nff 6041 . . . . . . . 8 |- F/ w v : ( 1 ... m ) --> V
208 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ w D C_ U. ran v
209 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ w E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) )
210207, 208, 209nf3an 1831 . . . . . . 7 |- F/ w ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
211204, 210nfan 1828 . . . . . 6 |- F/ w ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) )
212 eqid 2622 . . . . . 6 |- { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) }
213 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( f e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } , g e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) ) = ( f e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } , g e. { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
214 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... m ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... m ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) )
215 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... m ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ` m ) ) = ( t e. T |-> ( seq 1 ( x. , ( ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... m ) |-> ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ` t ) ) ` m ) )
216 simp1ll 1124 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ph )
217216, 15syld3an1 1372 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21811sselda 3603 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f e. C )
2196, 9, 10, 218fcnre 39184 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
220219ad4ant14 1293 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
221 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> m e. NN )
222 simpr1 1067 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> v : ( 1 ... m ) --> V )
2239cldss 20833 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( Clsd ` J ) -> B C_ T )
22422, 223syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ T )
225224ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> B C_ T )
226 simpr2 1068 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> D C_ U. ran v )
22732ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> D C_ T )
228 feq3 6028 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Y = { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } -> ( y : ( 1 ... m ) --> Y <-> y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } ) )
229150, 228ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( y : ( 1 ... m ) --> Y <-> y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
230229biimpi 206 . . . . . . . . . 10 |- ( y : ( 1 ... m ) --> Y -> y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } )
231230anim1i 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) -> ( y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
232231eximi 1762 . . . . . . . 8 |- ( E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) -> E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
2332323ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
234233adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> E. y ( y : ( 1 ... m ) --> { h e. A | A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) } /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) )
235 uniexg 6955 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
2367, 235syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U. J e. _V )
2379, 236syl5eqel 2705 . . . . . . 7 |- ( ph -> T e. _V )
238237ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> T e. _V )
239155ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> E e. RR+ )
240 stoweidlem57.21 . . . . . . 7 |- ( ph -> E < ( 1 / 3 ) )
241240ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> E < ( 1 / 3 ) )
242178, 197, 203, 211, 9, 212, 213, 214, 215, 44, 217, 220, 221, 222, 225, 226, 227, 234, 238, 239, 241stoweidlem54 40271 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
243242ex 450 . . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
244243exlimdv 1861 . . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
245244rexlimdva 3031 . 2 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. v ( v : ( 1 ... m ) --> V /\ D C_ U. ran v /\ E. y ( y : ( 1 ... m ) --> Y /\ A. i e. ( 1 ... m ) ( A. t e. ( v ` i ) ( ( y ` i ) ` t ) < ( E / m ) /\ A. t e. B ( 1 - ( E / m ) ) < ( ( y ` i ) ` t ) ) ) ) -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) ) )
246169, 245mpd 15 1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( x ` t ) /\ ( x ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. D ( x ` t ) < E /\ A. t e. B ( 1 - E ) < ( x ` t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   3c3 11071   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ↾t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127
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