Theorem omsmeas 30385

Description: The restriction of a constructed outer measure to Catatheodory measurable sets is a measure. This theorem allows to construct measures from pre-measures with the required characteristics, as for the Lebesgue measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsmeas.m	|- M = (toOMeas ` R )
omsmeas.s	|- S = (toCaraSiga ` M )
omsmeas.o	|- ( ph -> Q e. V )
omsmeas.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsmeas.d	|- ( ph -> (/) e. dom R )
omsmeas.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
omsmeas	|- ( ph -> ( M |` S ) e. (measures ` S ) )

Proof of Theorem omsmeas

Dummy variables e f x y g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmeas.o	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. V )
2		omsmeas.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
3		omsf 30358	. . . . . 6 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) ) -> (toOMeas ` R ) : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> (toOMeas ` R ) : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) )
5		omsmeas.m	. . . . . . 7 |- M = (toOMeas ` R )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> M = (toOMeas ` R ) )
7		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom R = Q )
9	8	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q = dom R )
10	9	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. Q = U. dom R )
11	10	pweqd 4163	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P U. Q = ~P U. dom R )
12	6, 11	feq12d 6033	. . . . 5 |- ( ph -> ( M : ~P U. Q --> ( 0 [,] +oo ) <-> (toOMeas ` R ) : ~P U. dom R --> ( 0 [,] +oo ) ) )
13	4, 12	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> M : ~P U. Q --> ( 0 [,] +oo ) )
14		omsmeas.s	. . . . 5 |- S = (toCaraSiga ` M )
15		uniexg 6955	. . . . . . 7 |- ( Q e. V -> U. Q e. _V )
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. Q e. _V )
17	16, 13	carsgcl 30366	. . . . 5 |- ( ph -> (toCaraSiga ` M ) C_ ~P U. Q )
18	14, 17	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> S C_ ~P U. Q )
19	13, 18	fssresd 6071	. . 3 |- ( ph -> ( M |` S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
20		omsmeas.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. dom R )
21		omsmeas.0	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
22	5, 1, 2, 20, 21	oms0 30359	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
23	16, 13, 22	0elcarsg 30369	. . . . . 6 |- ( ph -> (/) e. (toCaraSiga ` M ) )
24	23, 14	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ph -> (/) e. S )
25		fvres 6207	. . . . 5 |- ( (/) e. S -> ( ( M |` S ) ` (/) ) = ( M ` (/) ) )
26	24, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( M |` S ) ` (/) ) = ( M ` (/) ) )
27	26, 22	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( M |` S ) ` (/) ) = 0 )
28		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ g f
29		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ f g
30		id 22	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> f = g )
31	28, 29, 30	cbvdisj 4630	. . . . . . 7 |- (Disj f e. e f <-> Disj g e. e g )
32	31	anbi2i 730	. . . . . 6 |- ( ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) <-> ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) )
33	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Q e. V )
34	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
35		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> e e. ~P S )
36	35	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> e C_ S )
37	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> S C_ ~P U. Q )
38	36, 37	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> e C_ ~P U. Q )
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> f e. ~P U. Q )
40	39	elpwid 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> f C_ U. Q )
41		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> e ~<_ om )
42	5, 33, 34, 40, 41	omssubadd 30362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( M ` U_ f e. e f ) <_ Σ* f e. e ( M ` f ) )
43	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> U. Q e. _V )
44	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> M : ~P U. Q --> ( 0 [,] +oo ) )
45	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
46		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. x = U_ y e. x y
47	46	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M ` U. x ) = ( M ` U_ y e. x y )
48	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> Q e. V )
49	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
50		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) /\ y e. x ) -> x C_ ~P U. Q )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) /\ y e. x ) -> y e. x )
52	50, 51	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) /\ y e. x ) -> y e. ~P U. Q )
53	52	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) /\ y e. x ) -> y C_ U. Q )
54		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> x ~<_ om )
55	5, 48, 49, 53, 54	omssubadd 30362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> ( M ` U_ y e. x y ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
56	47, 55	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
57	56	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
58	57	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P U. Q ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
59	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> Q e. V )
60	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
61		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> x C_ y )
62		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ~P U. Q -> y C_ U. Q )
63	62	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> y C_ U. Q )
64	5, 59, 60, 61, 63	omsmon 30360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
65	64	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
66	65	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ x C_ y /\ y e. ~P U. Q ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
67		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. ~P S -> e C_ S )
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> e C_ S )
69	68, 14	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> e C_ (toCaraSiga ` M ) )
70	43, 44, 45, 58, 66, 41, 69	carsgclctun 30383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> U. e e. (toCaraSiga ` M ) )
71	70, 14	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> U. e e. S )
72		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. e e. S -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = ( M ` U. e ) )
73		uniiun 4573	. . . . . . . . . . . 12 |- U. e = U_ f e. e f
74	73	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( M ` U. e ) = ( M ` U_ f e. e f )
75	72, 74	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( U. e e. S -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = ( M ` U_ f e. e f ) )
76	71, 75	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = ( M ` U_ f e. e f ) )
77		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) )
78	68	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> f e. S )
79		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. S -> ( ( M |` S ) ` f ) = ( M ` f ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> ( ( M |` S ) ` f ) = ( M ` f ) )
81	80	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> A. f e. e ( ( M |` S ) ` f ) = ( M ` f ) )
82	77, 81	esumeq2d 30099	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) = Σ* f e. e ( M ` f ) )
83	42, 76, 82	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) <_ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) )
84		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> { (/) } e. _V )
86	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> M : ~P U. Q --> ( 0 [,] +oo ) )
87	86, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> ( M ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
88		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. { (/) } -> f = (/) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { (/) } -> ( M ` f ) = ( M ` (/) ) )
90	89, 45	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. { (/) } ) -> ( M ` f ) = 0 )
91	35, 85, 87, 90	esumpad2 30118	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. ( e \ { (/) } ) ( M ` f ) = Σ* f e. e ( M ` f ) )
92		neldifsnd 4322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> -. (/) e. ( e \ { (/) } ) )
93		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e \ { (/) } ) C_ e
94		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( e e. ~P S -> ( ( e \ { (/) } ) C_ e -> ( e \ { (/) } ) ~<_ e ) )
95	35, 93, 94	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( e \ { (/) } ) ~<_ e )
96		domtr 8009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( e \ { (/) } ) ~<_ e /\ e ~<_ om ) -> ( e \ { (/) } ) ~<_ om )
97	95, 41, 96	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( e \ { (/) } ) ~<_ om )
98	69	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( e \ { (/) } ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
99		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Disj g e. e g )
100		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y g
101		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ g y
102		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = y -> g = y )
103	100, 101, 102	cbvdisj 4630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Disj g e. e g <-> Disj y e. e y )
104	99, 103	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Disj y e. e y )
105		disjss1 4626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e \ { (/) } ) C_ e -> (Disj y e. e y -> Disj y e. ( e \ { (/) } ) y ) )
106	93, 104, 105	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Disj y e. ( e \ { (/) } ) y )
107	43, 44, 45, 58, 92, 97, 98, 106, 66	carsggect 30380	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. ( e \ { (/) } ) ( M ` f ) <_ ( M ` U. ( e \ { (/) } ) ) )
108	91, 107	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. e ( M ` f ) <_ ( M ` U. ( e \ { (/) } ) ) )
109		unidif0 4838	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( e \ { (/) } ) = U. e
110	109	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( M ` U. ( e \ { (/) } ) ) = ( M ` U. e )
111	108, 110	syl6breq 4694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. e ( M ` f ) <_ ( M ` U. e ) )
112	71, 72	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = ( M ` U. e ) )
113	111, 82, 112	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) <_ ( ( M |` S ) ` U. e ) )
114	83, 113	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( ( M |` S ) ` U. e ) <_ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) /\ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) <_ ( ( M |` S ) ` U. e ) ) )
115		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
116	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( M |` S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
117	116, 71	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) e. ( 0 [,] +oo ) )
118	115, 117	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) e. RR* )
119	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> ( M |` S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) )
120	119, 78	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) /\ f e. e ) -> ( ( M |` S ) ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
121	120	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> A. f e. e ( ( M |` S ) ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
122		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f e
123	122	esumcl 30092	. . . . . . . . . 10 |- ( ( e e. ~P S /\ A. f e. e ( ( M |` S ) ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
124	35, 121, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
125	115, 124	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) e. RR* )
126		xrletri3 11985	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M |` S ) ` U. e ) e. RR* /\ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) e. RR* ) -> ( ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) <-> ( ( ( M |` S ) ` U. e ) <_ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) /\ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) <_ ( ( M |` S ) ` U. e ) ) ) )
127	118, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) <-> ( ( ( M |` S ) ` U. e ) <_ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) /\ Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) <_ ( ( M |` S ) ` U. e ) ) ) )
128	114, 127	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj g e. e g ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) )
129	32, 128	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ e e. ~P S ) /\ ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) )
130	129	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. ~P S ) -> ( ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) ) )
131	130	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. e e. ~P S ( ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) ) )
132	19, 27, 131	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( ( M |` S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( M |` S ) ` (/) ) = 0 /\ A. e e. ~P S ( ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) ) ) )
133	16, 13, 22, 56, 64	carsgsiga 30384	. . . 4 |- ( ph -> (toCaraSiga ` M ) e. (sigAlgebra ` U. Q ) )
134	14, 133	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> S e. (sigAlgebra ` U. Q ) )
135		elrnsiga 30189	. . 3 |- ( S e. (sigAlgebra ` U. Q ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
136		ismeas 30262	. . 3 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( ( M |` S ) e. (measures ` S ) <-> ( ( M |` S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( M |` S ) ` (/) ) = 0 /\ A. e e. ~P S ( ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) ) ) ) )
137	134, 135, 136	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( ( M |` S ) e. (measures ` S ) <-> ( ( M |` S ) : S --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( M |` S ) ` (/) ) = 0 /\ A. e e. ~P S ( ( e ~<_ om /\ Disj f e. e f ) -> ( ( M |` S ) ` U. e ) = Σ* f e. e ( ( M |` S ) ` f ) ) ) ) )
138	132, 137	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( M |` S ) e. (measures ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  sigAlgebracsiga 30170  measurescmeas 30258  toOMeascoms 30353  toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-siga 30171  df-meas 30259  df-oms 30354  df-carsg 30364

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