Theorem infeq5i 8533

Description: Half of infeq5 8534. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
infeq5i	|- ( om e. _V -> E. x x C. U. x )

Proof of Theorem infeq5i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexg 4808	. 2 |- ( om e. _V -> ( om \ { (/) } ) e. _V )
2		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
3	2	snid 4208	. . . 4 |- (/) e. { (/) }
4		disj4 4025	. . . . . 6 |- ( ( om i^i { (/) } ) = (/) <-> -. ( om \ { (/) } ) C. om )
5		disj3 4021	. . . . . 6 |- ( ( om i^i { (/) } ) = (/) <-> om = ( om \ { (/) } ) )
6	4, 5	bitr3i 266	. . . . 5 |- ( -. ( om \ { (/) } ) C. om <-> om = ( om \ { (/) } ) )
7		peano1 7085	. . . . . . 7 |- (/) e. om
8		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( om = ( om \ { (/) } ) -> ( (/) e. om <-> (/) e. ( om \ { (/) } ) ) )
9	7, 8	mpbii 223	. . . . . 6 |- ( om = ( om \ { (/) } ) -> (/) e. ( om \ { (/) } ) )
10	9	eldifbd 3587	. . . . 5 |- ( om = ( om \ { (/) } ) -> -. (/) e. { (/) } )
11	6, 10	sylbi 207	. . . 4 |- ( -. ( om \ { (/) } ) C. om -> -. (/) e. { (/) } )
12	3, 11	mt4 115	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C. om
13		unidif0 4838	. . . . 5 |- U. ( om \ { (/) } ) = U. om
14		limom 7080	. . . . . 6 |- Lim om
15		limuni 5785	. . . . . 6 |- ( Lim om -> om = U. om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- om = U. om
17	13, 16	eqtr4i 2647	. . . 4 |- U. ( om \ { (/) } ) = om
18	17	psseq2i 3697	. . 3 |- ( ( om \ { (/) } ) C. U. ( om \ { (/) } ) <-> ( om \ { (/) } ) C. om )
19	12, 18	mpbir 221	. 2 |- ( om \ { (/) } ) C. U. ( om \ { (/) } )
20		psseq1 3694	. . . 4 |- ( x = ( om \ { (/) } ) -> ( x C. U. x <-> ( om \ { (/) } ) C. U. x ) )
21		unieq 4444	. . . . 5 |- ( x = ( om \ { (/) } ) -> U. x = U. ( om \ { (/) } ) )
22	21	psseq2d 3700	. . . 4 |- ( x = ( om \ { (/) } ) -> ( ( om \ { (/) } ) C. U. x <-> ( om \ { (/) } ) C. U. ( om \ { (/) } ) ) )
23	20, 22	bitrd 268	. . 3 |- ( x = ( om \ { (/) } ) -> ( x C. U. x <-> ( om \ { (/) } ) C. U. ( om \ { (/) } ) ) )
24	23	spcegv 3294	. 2 |- ( ( om \ { (/) } ) e. _V -> ( ( om \ { (/) } ) C. U. ( om \ { (/) } ) -> E. x x C. U. x ) )
25	1, 19, 24	mpisyl 21	1 |- ( om e. _V -> E. x x C. U. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   Lim wlim 5724   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  infeq5  8534  inf5  8542