Theorem usgr0 26135

Description: The null graph represented by an empty set is a simple graph. (Contributed by AV, 16-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgr0	|- (/) e. USGraph

Proof of Theorem usgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6169	. . 3 |- (/) : (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 }
2		dm0 5339	. . . 4 |- dom (/) = (/)
3		f1eq2 6097	. . . 4 |- ( dom (/) = (/) -> ( (/) : dom (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 } <-> (/) : (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 } ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) : dom (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 } <-> (/) : (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 } )
5	1, 4	mpbir 221	. 2 |- (/) : dom (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 }
6		0ex 4790	. . 3 |- (/) e. _V
7		vtxval0 25931	. . . . 5 |- (Vtx ` (/) ) = (/)
8	7	eqcomi 2631	. . . 4 |- (/) = (Vtx ` (/) )
9		iedgval0 25932	. . . . 5 |- (iEdg ` (/) ) = (/)
10	9	eqcomi 2631	. . . 4 |- (/) = (iEdg ` (/) )
11	8, 10	isusgr 26048	. . 3 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. USGraph <-> (/) : dom (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 } ) )
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 |- ( (/) e. USGraph <-> (/) : dom (/) -1-1-> { x e. ( ~P (/) \ { (/) } ) | ( # ` x ) = 2 } )
13	5, 12	mpbir 221	1 |- (/) e. USGraph

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   dom cdm 5114   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   2c2 11070   #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-slot 15861  df-base 15863  df-edgf 25868  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  cusgr0  26322  frgr0  27128