Theorem ushgredgedg 26121

Description: In a simple hypergraph there is a 1-1 onto mapping between the indexed edges containing a fixed vertex and the set of edges containing this vertex. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ushgredgedg.e	|- E = (Edg ` G )
ushgredgedg.i	|- I = (iEdg ` G )
ushgredgedg.v	|- V = (Vtx ` G )
ushgredgedg.a	|- A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) }
ushgredgedg.b	|- B = { e e. E | N e. e }
ushgredgedg.f	|- F = ( x e. A |-> ( I ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
ushgredgedg	|- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   B, e   e, E, i   e, G, i, x   e, I, i, x   e, N, i, x   e, V, i, x

Allowed substitution hints:   A( x, e, i)   B( x, i)   E( x)   F( x, e, i)

Proof of Theorem ushgredgedg

Dummy variables f j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		ushgredgedg.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
3	1, 2	ushgrf 25958	. . . 4 |- ( G e. USHGraph -> I : dom I -1-1-> ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> I : dom I -1-1-> ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) )
5		ssrab2 3687	. . 3 |- { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I
6		f1ores 6151	. . 3 |- ( ( I : dom I -1-1-> ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) /\ { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I ) -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) : { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -1-1-onto-> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. 2 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) : { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -1-1-onto-> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
8		ushgredgedg.f	. . . . 5 |- F = ( x e. A |-> ( I ` x ) )
9		ushgredgedg.a	. . . . . . 7 |- A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) }
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> A = { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } )
11		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ x e. A ) -> ( I ` x ) = ( I ` x ) )
12	10, 11	mpteq12dva 4732	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( x e. A |-> ( I ` x ) ) = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
13	8, 12	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
14		f1f 6101	. . . . . . . 8 |- ( I : dom I -1-1-> ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) -> I : dom I --> ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) )
15	3, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( G e. USHGraph -> I : dom I --> ( ~P (Vtx ` G ) \ { (/) } ) )
16	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( G e. USHGraph -> { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I )
17	15, 16	feqresmpt 6250	. . . . . 6 |- ( G e. USHGraph -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) )
19	18	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( x e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } |-> ( I ` x ) ) = ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
20	13, 19	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F = ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
21		ushgruhgr 25964	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USHGraph -> G e. UHGraph )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
23	22	uhgrfun 25961	. . . . . . . . 9 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( G e. USHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
25	2	funeqi 5909	. . . . . . . 8 |- ( Fun I <-> Fun (iEdg ` G ) )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( G e. USHGraph -> Fun I )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> Fun I )
28		dfimafn 6245	. . . . . 6 |- ( ( Fun I /\ { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } C_ dom I ) -> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } )
29	27, 5, 28	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( I ` i ) = ( I ` j ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( N e. ( I ` i ) <-> N e. ( I ` j ) ) )
32	31	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } <-> ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) )
33		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> j e. dom I )
34		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun I /\ j e. dom I ) -> ( I ` j ) e. ran I )
35	2	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (iEdg ` G ) = I
36	35	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran (iEdg ` G ) = ran I
37	36	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran I )
38	34, 37	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun I /\ j e. dom I ) -> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) )
39	27, 33, 38	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) ) -> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) )
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) )
41		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = ( I ` j ) -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) ) )
42	41	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I ` j ) = f -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) ) )
43	42	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> ( I ` j ) e. ran (iEdg ` G ) ) )
44	40, 43	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> f e. ran (iEdg ` G ) )
45		ushgredgedg.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E = (Edg ` G )
46		edgval 25941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G )
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. USHGraph -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
48	45, 47	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. USHGraph -> E = ran (iEdg ` G ) )
49	48	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. E <-> f e. ran (iEdg ` G ) ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( f e. E <-> f e. ran (iEdg ` G ) ) )
51	50	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( f e. E <-> f e. ran (iEdg ` G ) ) )
52	44, 51	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> f e. E )
53		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( I ` j ) = f -> ( N e. ( I ` j ) <-> N e. f ) )
54	53	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( I ` j ) -> ( ( I ` j ) = f -> N e. f ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> ( ( I ` j ) = f -> N e. f ) )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> ( ( I ` j ) = f -> N e. f ) ) )
57	56	3imp 1256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> N e. f )
58	52, 57	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) /\ ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) /\ ( I ` j ) = f ) -> ( f e. E /\ N e. f ) )
59	58	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) -> ( ( I ` j ) = f -> ( f e. E /\ N e. f ) ) ) )
60	32, 59	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -> ( ( I ` j ) = f -> ( f e. E /\ N e. f ) ) ) )
61	60	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f -> ( f e. E /\ N e. f ) ) )
62		funfn 5918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun (iEdg ` G ) <-> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
63	62	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun (iEdg ` G ) -> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
64	24, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. USHGraph -> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
65		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. ran (iEdg ` G ) <-> E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) )
67	35	dmeqi 5325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- dom (iEdg ` G ) = dom I
68	67	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( j e. dom (iEdg ` G ) <-> j e. dom I )
69	68	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( j e. dom (iEdg ` G ) -> j e. dom I )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> j e. dom I )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> j e. dom I )
72	35	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( (iEdg ` G ) ` j ) = ( I ` j )
73	72	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f = ( (iEdg ` G ) ` j ) <-> f = ( I ` j ) )
74	73	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( f = ( (iEdg ` G ) ` j ) -> f = ( I ` j ) )
75	74	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> f = ( I ` j ) )
76	75	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> ( N e. f <-> N e. ( I ` j ) ) )
77	76	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. f -> ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> N e. ( I ` j ) ) )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> N e. ( I ` j ) ) )
79	78	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> N e. ( I ` j ) ) )
80	79	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> N e. ( I ` j ) )
81	71, 80	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> ( j e. dom I /\ N e. ( I ` j ) ) )
82	81, 32	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } )
83	72	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f <-> ( I ` j ) = f )
84	83	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> ( I ` j ) = f )
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> ( I ` j ) = f )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> ( I ` j ) = f )
87	82, 86	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) /\ ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) ) -> ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } /\ ( I ` j ) = f ) )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( ( j e. dom (iEdg ` G ) /\ ( (iEdg ` G ) ` j ) = f ) -> ( j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } /\ ( I ` j ) = f ) ) )
89	88	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. f ) -> ( E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
90	89	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. USHGraph -> ( N e. f -> ( E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
91	90	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. USHGraph -> ( E. j e. dom (iEdg ` G ) ( (iEdg ` G ) ` j ) = f -> ( N e. f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
92	66, 91	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. ran (iEdg ` G ) -> ( N e. f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
93	49, 92	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. USHGraph -> ( f e. E -> ( N e. f -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) ) )
94	93	impd 447	. . . . . . . . 9 |- ( G e. USHGraph -> ( ( f e. E /\ N e. f ) -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( ( f e. E /\ N e. f ) -> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
96	61, 95	impbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f <-> ( f e. E /\ N e. f ) ) )
97		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
98		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( I ` j ) = e <-> ( I ` j ) = f ) )
99	98	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e <-> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f ) )
100	97, 99	elab 3350	. . . . . . 7 |- ( f e. { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } <-> E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = f )
101		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( N e. e <-> N e. f ) )
102		ushgredgedg.b	. . . . . . . 8 |- B = { e e. E | N e. e }
103	101, 102	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( f e. B <-> ( f e. E /\ N e. f ) )
104	96, 100, 103	3bitr4g 303	. . . . . 6 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( f e. { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } <-> f e. B ) )
105	104	eqrdv 2620	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> { e | E. j e. { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ( I ` j ) = e } = B )
106	29, 105	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) = B )
107	106	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> B = ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) )
108	20, 10, 107	f1oeq123d 6133	. 2 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( I |` { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) : { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } -1-1-onto-> ( I " { i e. dom I | N e. ( I ` i ) } ) ) )
109	7, 108	mpbird 247	1 |- ( ( G e. USHGraph /\ N e. V ) -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   UHGraph cuhgr 25951   USHGraph cushgr 25952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-edg 25940  df-uhgr 25953  df-ushgr 25954

This theorem is referenced by:  usgredgedg  26122  vtxdushgrfvedglem  26385