Theorem f1ores 6151

Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
f1ores	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Proof of Theorem f1ores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ssres 6108	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-> B )
2		f1f1orn 6148	. . 3 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-> B -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
4		df-ima 5127	. . 3 |- ( F " C ) = ran ( F |` C )
5		f1oeq3 6129	. . 3 |- ( ( F " C ) = ran ( F |` C ) -> ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) <-> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ran ( F |` C ) )
7	3, 6	sylibr 224	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ C C_ A ) -> ( F |` C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   C_ wss 3574   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  f1imacnv  6153  f1oresrab  6395  isores3  6585  isoini2  6589  f1imaeng  8016  f1imaen2g  8017  domunsncan  8060  php3  8146  ssfi  8180  infdifsn  8554  infxpenlem  8836  ackbij2lem2  9062  fin1a2lem6  9227  grothomex  9651  fsumss  14456  ackbijnn  14560  fprodss  14678  unbenlem  15612  eqgen  17647  symgfixelsi  17855  gsumval3lem1  18306  gsumval3lem2  18307  gsumzaddlem  18321  coe1mul2lem2  19638  lindsmm  20167  tsmsf1o  21948  ovoliunlem1  23270  dvcnvrelem2  23781  logf1o2  24396  dvlog  24397  ushgredgedg  26121  ushgredgedgloop  26123  trlreslem  26596  adjbd1o  28944  rinvf1o  29432  padct  29497  indf1ofs  30088  eulerpartgbij  30434  eulerpartlemgh  30440  ballotlemfrc  30588  reprpmtf1o  30704  erdsze2lem2  31186  poimirlem4  33413  poimirlem9  33418  ismtyres  33607  pwfi2f1o  37666  sge0f1o  40599