Theorem xrlelttric 29517

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttric	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Proof of Theorem xrlelttric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.1 433	. 2 |- ( -. B < A \/ B < A )
2		xrlenlt 10103	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	2	orbi1d 739	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ B \/ B < A ) <-> ( -. B < A \/ B < A ) ) )
4	1, 3	mpbiri 248	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B \/ B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-le 10080

This theorem is referenced by:  difioo  29544  esumpcvgval  30140