Proof of Theorem xaddeq0
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elxr 11950 |
. . 3
|
2 | | simpll 790 |
. . . . . . . 8
|
3 | 2 | rexrd 10089 |
. . . . . . 7
|
4 | | xnegneg 12045 |
. . . . . . 7
|
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . . . . 6
|
6 | 3 | xnegcld 12130 |
. . . . . . . . 9
|
7 | | xaddid2 12073 |
. . . . . . . . 9
|
8 | 6, 7 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
9 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . 11
|
10 | | xaddcom 12071 |
. . . . . . . . . . 11
|
11 | 3, 9, 10 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
|
12 | 11 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
|
13 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . 10
|
14 | 13 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
|
15 | | xpncan 12081 |
. . . . . . . . . . 11
|
16 | 15 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . 10
|
17 | 16 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
18 | 12, 14, 17 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . 8
|
19 | 8, 18 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . 7
|
20 | | xnegeq 12038 |
. . . . . . 7
|
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . 6
|
22 | 5, 21 | eqtr3d 2658 |
. . . . 5
|
23 | 22 | ex 450 |
. . . 4
|
24 | | simpll 790 |
. . . . . 6
|
25 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
|
26 | 24 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
27 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
28 | 26, 27 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . 12
|
29 | | 0re 10040 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
30 | | renepnf 10087 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
31 | 29, 30 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . 12
|
32 | 28, 31 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . 11
|
33 | 32 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . . 10
|
34 | | xaddpnf2 12058 |
. . . . . . . . . . 11
|
35 | 34 | stoic1a 1697 |
. . . . . . . . . 10
|
36 | 25, 33, 35 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
37 | | nne 2798 |
. . . . . . . . 9
|
38 | 36, 37 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
|
39 | | xnegeq 12038 |
. . . . . . . 8
|
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
41 | | xnegmnf 12041 |
. . . . . . 7
|
42 | 40, 41 | syl6req 2673 |
. . . . . 6
|
43 | 24, 42 | eqtrd 2656 |
. . . . 5
|
44 | 43 | ex 450 |
. . . 4
|
45 | | simpll 790 |
. . . . . 6
|
46 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . 10
|
47 | 45 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
48 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
49 | 47, 48 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . 12
|
50 | | renemnf 10088 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
51 | 29, 50 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . 12
|
52 | 49, 51 | eqnetrd 2861 |
. . . . . . . . . . 11
|
53 | 52 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . . 10
|
54 | | xaddmnf2 12060 |
. . . . . . . . . . 11
|
55 | 54 | stoic1a 1697 |
. . . . . . . . . 10
|
56 | 46, 53, 55 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
|
57 | | nne 2798 |
. . . . . . . . 9
|
58 | 56, 57 | sylib 208 |
. . . . . . . 8
|
59 | | xnegeq 12038 |
. . . . . . . 8
|
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
61 | | xnegpnf 12040 |
. . . . . . 7
|
62 | 60, 61 | syl6req 2673 |
. . . . . 6
|
63 | 45, 62 | eqtrd 2656 |
. . . . 5
|
64 | 63 | ex 450 |
. . . 4
|
65 | 23, 44, 64 | 3jaoian 1393 |
. . 3
|
66 | 1, 65 | sylanb 489 |
. 2
|
67 | | simpr 477 |
. . . . 5
|
68 | 67 | oveq1d 6665 |
. . . 4
|
69 | | xnegcl 12044 |
. . . . . 6
|
70 | 69 | ad2antlr 763 |
. . . . 5
|
71 | | simplr 792 |
. . . . 5
|
72 | | xaddcom 12071 |
. . . . 5
|
73 | 70, 71, 72 | syl2anc 693 |
. . . 4
|
74 | | xnegid 12069 |
. . . . 5
|
75 | 74 | ad2antlr 763 |
. . . 4
|
76 | 68, 73, 75 | 3eqtrd 2660 |
. . 3
|
77 | 76 | ex 450 |
. 2
|
78 | 66, 77 | impbid 202 |
1
|