Theorem esumpcvgval 30140

Description: The value of the extended sum when the corresponding series sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpcvgval.1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
esumpcvgval.2	|- ( k = l -> A = B )
esumpcvgval.3	|- ( ph -> ( n e. NN |-> sum_ k e. ( 1 ... n ) A ) e. dom ~~> )

Assertion

Ref	Expression
esumpcvgval	|- ( ph -> Σ* k e. NN A = sum_ k e. NN A )

Distinct variable groups:   k, l, n   A, l, n   B, k, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( l)   A( k)   B( l)

Proof of Theorem esumpcvgval

Dummy variables s x y z b m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> < Or RR* )
3		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		esumpcvgval.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
6		esumpcvgval.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = l -> A = B )
7		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = l <-> l = k )
8		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = B <-> B = A )
9	6, 7, 8	3imtr3i 280	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = k -> B = A )
10	9	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( l e. NN |-> B ) = ( k e. NN |-> A )
11	5, 10	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( l e. NN |-> B ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
13		elrege0 12278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) ) )
14	13	simplbi 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) e. RR )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` x ) e. RR )
16	3, 4, 15	serfre 12830	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) : NN --> RR )
17	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( l e. NN |-> B ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
19	18	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
20	17, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
21		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) ) )
22	21	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) )
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) )
24	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) e. RR )
25	21	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. ( 0 [,) +oo ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. RR )
26	20, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) e. RR )
27	24, 26	addge01d 10615	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) + ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
28	23, 27	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) + ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) ) )
29	18, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. ( ZZ>= ` 1 ) )
30		seqp1 12816	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) + ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) + ( ( l e. NN |-> B ) ` ( n + 1 ) ) ) )
32	28, 31	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` ( n + 1 ) ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
34	10	fvmpt2 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ A e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` k ) = A )
35	33, 5, 34	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` k ) = A )
36		rge0ssre 12280	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
37	36, 5	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
38	16	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = ( n e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) )
39		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ph )
40		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. NN )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> k e. NN )
42	39, 41, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` k ) = A )
43	37	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. CC )
44	39, 41, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> A e. CC )
45	42, 29, 44	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
46	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) = sum_ k e. ( 1 ... n ) A )
47	46	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( 1 ... n ) A ) )
48	38, 47	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. NN |-> sum_ k e. ( 1 ... n ) A ) = seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) )
49		esumpcvgval.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. NN |-> sum_ k e. ( 1 ... n ) A ) e. dom ~~> )
50	48, 49	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) e. dom ~~> )
51	3, 4, 35, 37, 50	isumrecl 14496	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. NN A e. RR )
52		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 1 e. ZZ )
53		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
54		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... n ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
55	54, 3	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... n ) C_ NN
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) C_ NN )
57	35	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` k ) = A )
58	37	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> A e. RR )
59	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
60		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
61	60	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ A )
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
63	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) e. dom ~~> )
64	3, 52, 53, 56, 57, 58, 62, 63	isumless 14577	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) A <_ sum_ k e. NN A )
65	45, 64	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ sum_ k e. NN A )
66	65	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ sum_ k e. NN A )
67		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( s = sum_ k e. NN A -> ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s <-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ sum_ k e. NN A ) )
68	67	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( s = sum_ k e. NN A -> ( A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s <-> A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ sum_ k e. NN A ) )
69	68	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. NN A e. RR /\ A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ sum_ k e. NN A ) -> E. s e. RR A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s )
70	51, 66, 69	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> E. s e. RR A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s )
71	3, 4, 16, 32, 70	climsup 14400	. . . . 5 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ~~> sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
72	3, 4, 71, 24	climrecl 14314	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) e. RR )
73	72	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) e. RR* )
74		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) = ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A )
75		sumex 14418	. . . . . . 7 |- sum_ k e. b A e. _V
76	74, 75	elrnmpti 5376	. . . . . 6 |- ( x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) <-> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) x = sum_ k e. b A )
77		ssnnssfz 29549	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) -> E. m e. NN b C_ ( 1 ... m ) )
78		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ b C_ ( 1 ... m ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
79		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... m ) -> k e. NN )
80	79, 5	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
81	60	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( 0 [,) +oo ) -> A e. RR )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> A e. RR )
83	82	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b C_ ( 1 ... m ) ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> A e. RR )
84	80, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> 0 <_ A )
85	84	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b C_ ( 1 ... m ) ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> 0 <_ A )
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ b C_ ( 1 ... m ) ) -> b C_ ( 1 ... m ) )
87	78, 83, 85, 86	fsumless 14528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b C_ ( 1 ... m ) ) -> sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( b C_ ( 1 ... m ) -> sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) )
89	88	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. m e. NN b C_ ( 1 ... m ) -> E. m e. NN sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) )
90	89	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ E. m e. NN b C_ ( 1 ... m ) ) -> E. m e. NN sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A )
91	77, 90	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> E. m e. NN sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A )
92		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( x = sum_ k e. b A -> ( x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A <-> sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) )
93	92	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ k e. b A -> ( E. m e. NN x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A <-> E. m e. NN sum_ k e. b A <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) )
94	91, 93	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( x = sum_ k e. b A -> E. m e. NN x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) )
95	94	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) x = sum_ k e. b A -> E. m e. NN x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) )
96	95	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) x = sum_ k e. b A ) -> E. m e. NN x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A )
97	76, 96	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) -> E. m e. NN x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A )
98		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ x = sum_ k e. b A ) -> x = sum_ k e. b A )
99		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P NN i^i Fin ) C_ Fin
100		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> b e. ( ~P NN i^i Fin ) )
101	99, 100	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> b e. Fin )
102		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> ph )
103		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ~P NN i^i Fin ) C_ ~P NN
104		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> b e. ( ~P NN i^i Fin ) )
105	103, 104	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> b e. ~P NN )
106	105	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> b C_ NN )
107		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> k e. b )
108	106, 107	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> k e. NN )
109	102, 108, 5	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
110	109, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> A e. RR )
111	101, 110	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> sum_ k e. b A e. RR )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ x = sum_ k e. b A ) -> sum_ k e. b A e. RR )
113	98, 112	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ x = sum_ k e. b A ) -> x e. RR )
114	113	r19.29an 3077	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) x = sum_ k e. b A ) -> x e. RR )
115	76, 114	sylan2b 492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) -> x e. RR )
116	115	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> x e. RR )
117		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... m ) e. Fin )
118	117, 82	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A e. RR )
119	118	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A e. RR )
120	72	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) e. RR )
121		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A )
122		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) : NN --> RR -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR )
123	16, 122	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR )
124	123	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR )
125		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
126	125	ne0ii 3923	. . . . . . . . 9 |- NN =/= (/)
127		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = (/) <-> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = (/) )
128		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) : NN --> RR -> dom seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = NN )
129	16, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = NN )
130	129	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( dom seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = (/) <-> NN = (/) ) )
131	127, 130	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = (/) <-> NN = (/) ) )
132	131	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) <-> NN =/= (/) ) )
133	126, 132	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) )
134	133	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) )
135		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ZZ
136		seqfn 12813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
137	135, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
138	3	fneq2i 5986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) Fn NN <-> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
139	137, 138	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) Fn NN
140		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) Fn NN <-> seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = ( n e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) )
141	139, 140	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) = ( n e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
142		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) e. _V
143	141, 142	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) <-> E. n e. NN z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
144		r19.29 3072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s /\ E. n e. NN z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> E. n e. NN ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s /\ z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) )
145		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) -> ( z <_ s <-> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s ) )
146	145	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s /\ z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> z <_ s )
147	146	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. n e. NN ( ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s /\ z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> z <_ s )
148	144, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s /\ E. n e. NN z = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> z <_ s )
149	143, 148	sylan2b 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s /\ z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ) -> z <_ s )
150	149	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s -> A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s )
151	150	reximi 3011	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. RR A. n e. NN ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <_ s -> E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s )
152	70, 151	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s )
153	152	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s )
154		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
155		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> ph )
156	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> k e. NN )
157	155, 156, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( l e. NN |-> B ) ` k ) = A )
158	154, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ZZ>= ` 1 ) )
159	155, 156, 5	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
160	159, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> A e. RR )
161	160	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 1 ... m ) ) -> A e. CC )
162	157, 158, 161	fsumser 14461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` m ) )
163		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` m ) )
164	163	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) <-> sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` m ) ) )
165	164	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. NN /\ sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` m ) ) -> E. n e. NN sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
166	154, 162, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> E. n e. NN sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
167	141, 142	elrnmpti 5376	. . . . . . . . 9 |- ( sum_ k e. ( 1 ... m ) A e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) <-> E. n e. NN sum_ k e. ( 1 ... m ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
168	166, 167	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) )
169	168	ad2ant2r 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) )
170		suprub 10984	. . . . . . 7 |- ( ( ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) /\ E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s ) /\ sum_ k e. ( 1 ... m ) A e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
171	124, 134, 153, 169, 170	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... m ) A <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
172	116, 119, 120, 121, 171	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) /\ ( m e. NN /\ x <_ sum_ k e. ( 1 ... m ) A ) ) -> x <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
173	97, 172	rexlimddv 3035	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) -> x <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
174	72	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) e. RR )
175	115, 174	lenltd 10183	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) -> ( x <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) <-> -. sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) < x ) )
176	173, 175	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) -> -. sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) < x )
177		simpr1r 1119	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) /\ 0 <_ x /\ x = +oo ) ) -> x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
178	177	3anassrs 1290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x = +oo ) -> x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
179	73	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x = +oo ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) e. RR* )
180		pnfnlt 11962	. . . . . . . 8 |- ( sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) e. RR* -> -. +oo < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
181	179, 180	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x = +oo ) -> -. +oo < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
182		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( x = +oo -> ( x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) <-> +oo < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) )
183	182	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( x = +oo -> ( -. x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) <-> -. +oo < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) )
184	183	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x = +oo ) -> ( -. x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) <-> -. +oo < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) )
185	181, 184	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x = +oo ) -> -. x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
186	178, 185	pm2.21dd 186	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x = +oo ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
187		simplll 798	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> ph )
188		simpr1l 1118	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) -> x e. RR* )
189	188	3anassrs 1290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> x e. RR* )
190		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> 0 <_ x )
191		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> x < +oo )
192		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
193		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
194		elico1 12218	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) )
195	192, 193, 194	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) )
196	189, 190, 191, 195	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
197		simpr1r 1119	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) /\ 0 <_ x /\ x < +oo ) ) -> x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
198	197	3anassrs 1290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
199	123	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR )
200	133	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) )
201	152	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s )
202	199, 200, 201	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) /\ E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s ) )
203		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> x e. ( 0 [,) +oo ) )
204	36, 203	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> x e. RR )
205		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
206		suprlub 10987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) /\ E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s ) /\ x e. RR ) -> ( x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) <-> E. y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) x < y ) )
207	206	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ RR /\ ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) =/= (/) /\ E. s e. RR A. z e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) z <_ s ) /\ x e. RR ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) -> E. y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) x < y )
208	202, 204, 205, 207	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> E. y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) x < y )
209	40	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... n ) C_ NN
210		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ... n ) e. _V
211	210	elpw 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 ... n ) e. ~P NN <-> ( 1 ... n ) C_ NN )
212	209, 211	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... n ) e. ~P NN
213		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... n ) e. Fin
214		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 ... n ) e. ( ~P NN i^i Fin ) <-> ( ( 1 ... n ) e. ~P NN /\ ( 1 ... n ) e. Fin ) )
215	212, 213, 214	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... n ) e. ( ~P NN i^i Fin )
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> ( 1 ... n ) e. ( ~P NN i^i Fin ) )
217		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
218	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... n ) A = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
219	217, 218	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> y = sum_ k e. ( 1 ... n ) A )
220		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( 1 ... n ) -> sum_ k e. b A = sum_ k e. ( 1 ... n ) A )
221	220	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( 1 ... n ) -> ( y = sum_ k e. b A <-> y = sum_ k e. ( 1 ... n ) A ) )
222	221	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... n ) e. ( ~P NN i^i Fin ) /\ y = sum_ k e. ( 1 ... n ) A ) -> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) y = sum_ k e. b A )
223	216, 219, 222	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) ) -> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) y = sum_ k e. b A )
224	223	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) -> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) y = sum_ k e. b A ) )
225	224	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. n e. NN y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) -> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) y = sum_ k e. b A ) )
226	141, 142	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) <-> E. n e. NN y = ( seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) ` n ) )
227	74, 75	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) <-> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) y = sum_ k e. b A )
228	225, 226, 227	3imtr4g 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) -> y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) ) )
229	228	ssrdv 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) )
230		ssrexv 3667	. . . . . . . . 9 |- ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) C_ ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) -> ( E. y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) x < y -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y ) )
231	229, 230	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) x < y -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y ) )
232	231	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. y e. ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) x < y ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
233	208, 232	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
234	187, 196, 198, 233	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) /\ x < +oo ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
235		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) -> x e. RR* )
236		xrlelttric 29517	. . . . . . . 8 |- ( ( +oo e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( +oo <_ x \/ x < +oo ) )
237	193, 236	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( +oo <_ x \/ x < +oo ) )
238		xgepnf 11996	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR* -> ( +oo <_ x <-> x = +oo ) )
239	238	orbi1d 739	. . . . . . 7 |- ( x e. RR* -> ( ( +oo <_ x \/ x < +oo ) <-> ( x = +oo \/ x < +oo ) ) )
240	237, 239	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( x e. RR* -> ( x = +oo \/ x < +oo ) )
241	235, 240	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) -> ( x = +oo \/ x < +oo ) )
242	186, 234, 241	mpjaodan 827	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ 0 <_ x ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
243		0elpw 4834	. . . . . . . . 9 |- (/) e. ~P NN
244		0fin 8188	. . . . . . . . 9 |- (/) e. Fin
245		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. ( ~P NN i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P NN /\ (/) e. Fin ) )
246	243, 244, 245	mpbir2an 955	. . . . . . . 8 |- (/) e. ( ~P NN i^i Fin )
247		sum0 14452	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. (/) A = 0
248	247	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- 0 = sum_ k e. (/) A
249		sumeq1 14419	. . . . . . . . . 10 |- ( b = (/) -> sum_ k e. b A = sum_ k e. (/) A )
250	249	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( b = (/) -> ( 0 = sum_ k e. b A <-> 0 = sum_ k e. (/) A ) )
251	250	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. ( ~P NN i^i Fin ) /\ 0 = sum_ k e. (/) A ) -> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) 0 = sum_ k e. b A )
252	246, 248, 251	mp2an 708	. . . . . . 7 |- E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) 0 = sum_ k e. b A
253	74, 75	elrnmpti 5376	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) <-> E. b e. ( ~P NN i^i Fin ) 0 = sum_ k e. b A )
254	252, 253	mpbir 221	. . . . . 6 |- 0 e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A )
255		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( y = 0 -> ( x < y <-> x < 0 ) )
256	255	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) /\ x < 0 ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
257	254, 256	mpan 706	. . . . 5 |- ( x < 0 -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
258	257	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) /\ x < 0 ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
259		xrlelttric 29517	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( 0 <_ x \/ x < 0 ) )
260	192, 259	mpan 706	. . . . 5 |- ( x e. RR* -> ( 0 <_ x \/ x < 0 ) )
261	260	ad2antrl 764	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> ( 0 <_ x \/ x < 0 ) )
262	242, 258, 261	mpjaodan 827	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ x < sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) ) ) -> E. y e. ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) x < y )
263	2, 73, 176, 262	eqsupd 8363	. 2 |- ( ph -> sup ( ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
264		nfv 1843	. . 3 |- F/ k ph
265		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ k NN
266		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
267	266	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> NN e. _V )
268		icossicc 12260	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
269	268, 5	sseldi 3601	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
270		elex 3212	. . . . . 6 |- ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) -> b e. _V )
271	270	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> b e. _V )
272		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. b |-> A ) = ( k e. b |-> A )
273	109, 272	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( k e. b |-> A ) : b --> ( 0 [,) +oo ) )
274		esumpfinvallem 30136	. . . . 5 |- ( ( b e. _V /\ ( k e. b |-> A ) : b --> ( 0 [,) +oo ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. b |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. b |-> A ) ) )
275	271, 273, 274	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. b |-> A ) ) = ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. b |-> A ) ) )
276	110	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) /\ k e. b ) -> A e. CC )
277	101, 276	gsumfsum 19813	. . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. b |-> A ) ) = sum_ k e. b A )
278	275, 277	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( ph /\ b e. ( ~P NN i^i Fin ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) gsumg ( k e. b |-> A ) ) = sum_ k e. b A )
279	264, 265, 267, 269, 278	esumval 30108	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. NN A = sup ( ran ( b e. ( ~P NN i^i Fin ) |-> sum_ k e. b A ) , RR* , < ) )
280	3, 4, 35, 43, 71	isumclim 14488	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. NN A = sup ( ran seq 1 ( + , ( l e. NN |-> B ) ) , RR , < ) )
281	263, 279, 280	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> Σ* k e. NN A = sum_ k e. NN A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ↾_s cress 15858   gsum_g cgsu 16101   RR*scxrs 16160  ℂ_fldccnfld 19746  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumcvg  30148  esumcvgsum  30150