Theorem xrlttri5d 39495

Description: Not equal and not larger implies smaller. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttri5d.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xrlttri5d.b	|- ( ph -> B e. RR* )
xrlttri5d.aneb	|- ( ph -> A =/= B )
xrlttri5d.nlt	|- ( ph -> -. B < A )

Assertion

Ref	Expression
xrlttri5d	|- ( ph -> A < B )

Proof of Theorem xrlttri5d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri5d.aneb	. . . . . . 7 |- ( ph -> A =/= B )
2	1	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A = B )
3		xrlttri5d.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrlttri5d.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrlttri3 11976	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
7	2, 6	mtbid 314	. . . . 5 |- ( ph -> -. ( -. A < B /\ -. B < A ) )
8		oran 517	. . . . 5 |- ( ( A < B \/ B < A ) <-> -. ( -. A < B /\ -. B < A ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B \/ B < A ) )
10		xrlttri5d.nlt	. . . 4 |- ( ph -> -. B < A )
11	9, 10	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( A < B \/ B < A ) /\ -. B < A ) )
12		pm5.61 749	. . 3 |- ( ( ( A < B \/ B < A ) /\ -. B < A ) <-> ( A < B /\ -. B < A ) )
13	11, 12	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( A < B /\ -. B < A ) )
14	13	simpld 475	1 |- ( ph -> A < B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   RR*cxr 10073   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  lttri5d  39513