Theorem z2ge 12029

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifcl 4130	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
2	1	ancoms 469	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ )
3		zre 11381	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
4		zre 11381	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
5		max1 12016	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> M <_ if ( M <_ N , N , M ) )
6		max2 12018	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> N <_ if ( M <_ N , N , M ) )
7	5, 6	jca 554	. . 3 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ if ( M <_ N , N , M ) /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
8	3, 4, 7	syl2an 494	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ if ( M <_ N , N , M ) /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
9		breq2 4657	. . . 4 |- ( k = if ( M <_ N , N , M ) -> ( M <_ k <-> M <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
10		breq2 4657	. . . 4 |- ( k = if ( M <_ N , N , M ) -> ( N <_ k <-> N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) )
11	9, 10	anbi12d 747	. . 3 |- ( k = if ( M <_ N , N , M ) -> ( ( M <_ k /\ N <_ k ) <-> ( M <_ if ( M <_ N , N , M ) /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) )
12	11	rspcev 3309	. 2 |- ( ( if ( M <_ N , N , M ) e. ZZ /\ ( M <_ if ( M <_ N , N , M ) /\ N <_ if ( M <_ N , N , M ) ) ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )
13	2, 8, 12	syl2anc 693	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> E. k e. ZZ ( M <_ k /\ N <_ k ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378

This theorem is referenced by: (None)