Theorem qbtwnre 12030

Description: The rational numbers are dense in RR: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qbtwnre	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem qbtwnre

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 10521	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
2		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3		nnrecl 11290	. . . . . . 7 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) -> E. y e. NN ( 1 / y ) < ( B - A ) )
4	2, 3	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. RR /\ A e. RR ) /\ 0 < ( B - A ) ) -> E. y e. NN ( 1 / y ) < ( B - A ) )
5	4	ex 450	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) -> E. y e. NN ( 1 / y ) < ( B - A ) ) )
6	5	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) -> E. y e. NN ( 1 / y ) < ( B - A ) ) )
7	1, 6	sylbid 230	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> E. y e. NN ( 1 / y ) < ( B - A ) ) )
8		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> y e. RR )
10		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> B e. RR )
11	9, 10	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> ( y x. B ) e. RR )
12		peano2rem 10348	. . . . . . 7 |- ( ( y x. B ) e. RR -> ( ( y x. B ) - 1 ) e. RR )
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> ( ( y x. B ) - 1 ) e. RR )
14		zbtwnre 11786	. . . . . 6 |- ( ( ( y x. B ) - 1 ) e. RR -> E! z e. ZZ ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) )
15		reurex 3160	. . . . . 6 |- ( E! z e. ZZ ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) -> E. z e. ZZ ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) )
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> E. z e. ZZ ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) )
17		znq 11792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( z / y ) e. QQ )
18	17	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ z e. ZZ ) -> ( z / y ) e. QQ )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( z / y ) e. QQ )
20		an32 839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) <-> ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) )
21	8	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> y e. RR )
22		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> A e. RR )
23	21, 22	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( y x. A ) e. RR )
24	13	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( y x. B ) - 1 ) e. RR )
25		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
26	25	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> z e. RR )
27		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y x. A ) e. RR /\ ( ( y x. B ) - 1 ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) /\ ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z ) -> ( y x. A ) < z ) )
28	23, 24, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) /\ ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z ) -> ( y x. A ) < z ) )
29	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> y e. CC )
30		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> B e. RR )
31	30	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> B e. CC )
32	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> A e. CC )
33	29, 31, 32	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( y x. ( B - A ) ) = ( ( y x. B ) - ( y x. A ) ) )
34	33	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( 1 < ( y x. ( B - A ) ) <-> 1 < ( ( y x. B ) - ( y x. A ) ) ) )
35		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> 1 e. RR )
36	30, 22	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( B - A ) e. RR )
37		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> 0 < y )
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> 0 < y )
39		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( B - A ) e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) <-> 1 < ( y x. ( B - A ) ) ) )
40	35, 36, 21, 38, 39	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) <-> 1 < ( y x. ( B - A ) ) ) )
41	11	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( y x. B ) e. RR )
42		ltsub13 10509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y x. A ) e. RR /\ ( y x. B ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) <-> 1 < ( ( y x. B ) - ( y x. A ) ) ) )
43	23, 41, 35, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) <-> 1 < ( ( y x. B ) - ( y x. A ) ) ) )
44	34, 40, 43	3bitr4rd 301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) <-> ( 1 / y ) < ( B - A ) ) )
45	44	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) /\ ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z ) <-> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) /\ ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z ) ) )
46		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / y ) < ( B - A ) /\ ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z ) <-> ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) )
47	45, 46	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( y x. A ) < ( ( y x. B ) - 1 ) /\ ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z ) <-> ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) ) )
48		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ z e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( y x. A ) < z <-> A < ( z / y ) ) )
49	22, 26, 21, 38, 48	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( y x. A ) < z <-> A < ( z / y ) ) )
50	28, 47, 49	3imtr3d 282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) -> A < ( z / y ) ) )
51	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( y x. B ) e. CC )
52		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
53		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y x. B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) = ( y x. B ) )
54	51, 52, 53	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) = ( y x. B ) )
55	54	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) <-> z < ( y x. B ) ) )
56		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. RR /\ B e. RR /\ ( y e. RR /\ 0 < y ) ) -> ( ( z / y ) < B <-> z < ( y x. B ) ) )
57	26, 30, 21, 38, 56	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( z / y ) < B <-> z < ( y x. B ) ) )
58	55, 57	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) <-> ( z / y ) < B ) )
59	58	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) -> ( z / y ) < B ) )
60	50, 59	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) -> ( A < ( z / y ) /\ ( z / y ) < B ) ) )
61	20, 60	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) -> ( A < ( z / y ) /\ ( z / y ) < B ) ) )
62		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z / y ) -> ( A < x <-> A < ( z / y ) ) )
63		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z / y ) -> ( x < B <-> ( z / y ) < B ) )
64	62, 63	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z / y ) -> ( ( A < x /\ x < B ) <-> ( A < ( z / y ) /\ ( z / y ) < B ) ) )
65	64	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z / y ) e. QQ /\ ( A < ( z / y ) /\ ( z / y ) < B ) ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) )
66	19, 61, 65	syl6an 568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) /\ ( 1 / y ) < ( B - A ) ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) )
67	66	expd 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( y e. NN /\ z e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) -> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) ) )
68	67	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> ( z e. ZZ -> ( ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) -> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) ) ) )
69	68	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> ( E. z e. ZZ ( ( ( y x. B ) - 1 ) <_ z /\ z < ( ( ( y x. B ) - 1 ) + 1 ) ) -> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) ) )
70	16, 69	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. NN ) -> ( ( 1 / y ) < ( B - A ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) )
71	70	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( E. y e. NN ( 1 / y ) < ( B - A ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) )
72	7, 71	syld 47	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) ) )
73	72	3impia 1261	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) -> E. x e. QQ ( A < x /\ x < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   E!wreu 2914   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   QQcq 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12031  qsqueeze  12032  nmoleub2lem3  22915  mbfaddlem  23427  rpnnen3lem  37598