Theorem zextle 11450

Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
zextle	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Distinct variable groups:   k, M   k, N

Proof of Theorem zextle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ M )
4		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ M <-> M <_ M ) )
5		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( k <_ N <-> M <_ N ) )
6	4, 5	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( M <_ M <-> M <_ N ) ) )
7	6	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ M <-> M <_ N ) )
8	3, 7	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
9	8	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M <_ N )
10		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
11	10	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> N <_ N )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ N )
13		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ M <-> N <_ M ) )
14		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( k = N -> ( k <_ N <-> N <_ N ) )
15	13, 14	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ( k <_ M <-> k <_ N ) <-> ( N <_ M <-> N <_ N ) ) )
16	15	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( N <_ M <-> N <_ N ) )
17	12, 16	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
18	17	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> N <_ M )
19	9, 18	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) )
20	19	ex 450	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
21		letri3 10123	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
22	1, 10, 21	syl2an 494	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
23	20, 22	sylibrd 249	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) -> M = N ) )
24	23	3impia 1261	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ A. k e. ZZ ( k <_ M <-> k <_ N ) ) -> M = N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   RRcr 9935   <_ cle 10075   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378

This theorem is referenced by:  zextlt  11451