Theorem zrdivrng 33752

Description: The zero ring is not a division ring. (Contributed by FL, 24-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
zrdivrng.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
zrdivrng	|- -. <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. DivRingOps

Proof of Theorem zrdivrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ngrp 27365	. 2 |- -. (/) e. GrpOp
2		opex 4932	. . . . . . . . . 10 |- <. A , A >. e. _V
3	2	rnsnop 5616	. . . . . . . . 9 |- ran { <. <. A , A >. , A >. } = { A }
4		zrdivrng.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
5	4	gidsn 33751	. . . . . . . . . 10 |- (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) = A
6	5	sneqi 4188	. . . . . . . . 9 |- { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } = { A }
7	3, 6	difeq12i 3726	. . . . . . . 8 |- ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) = ( { A } \ { A } )
8		difid 3948	. . . . . . . 8 |- ( { A } \ { A } ) = (/)
9	7, 8	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) = (/)
10	9	xpeq2i 5136	. . . . . 6 |- ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) = ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. (/) )
11		xp0 5552	. . . . . 6 |- ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. (/) ) = (/)
12	10, 11	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) = (/)
13	12	reseq2i 5393	. . . 4 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } |` ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) ) = ( { <. <. A , A >. , A >. } |` (/) )
14		res0 5400	. . . 4 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } |` (/) ) = (/)
15	13, 14	eqtri 2644	. . 3 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } |` ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) ) = (/)
16		snex 4908	. . . . 5 |- { <. <. A , A >. , A >. } e. _V
17		isdivrngo 33749	. . . . 5 |- ( { <. <. A , A >. , A >. } e. _V -> ( <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. DivRingOps <-> ( <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. RingOps /\ ( { <. <. A , A >. , A >. } |` ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) ) e. GrpOp ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. DivRingOps <-> ( <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. RingOps /\ ( { <. <. A , A >. , A >. } |` ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) ) e. GrpOp ) )
19	18	simprbi 480	. . 3 |- ( <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. DivRingOps -> ( { <. <. A , A >. , A >. } |` ( ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) X. ( ran { <. <. A , A >. , A >. } \ { (GId ` { <. <. A , A >. , A >. } ) } ) ) ) e. GrpOp )
20	15, 19	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. DivRingOps -> (/) e. GrpOp )
21	1, 20	mto 188	1 |- -. <. { <. <. A , A >. , A >. } , { <. <. A , A >. , A >. } >. e. DivRingOps

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888   GrpOpcgr 27343  GIdcgi 27344   RingOpscrngo 33693   DivRingOpscdrng 33747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-rngo 33694  df-drngo 33748

This theorem is referenced by:  dvrunz  33753