Theorem 2times 11145

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 11079	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq1i 6660	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) = ((1 + 1) · 𝐴)
3		1p1times 10207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 1) · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4	2, 3	syl5eq 2668	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-mulcl 9998  ax-mulcom 10000  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-1rid 10006  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-2 11079

This theorem is referenced by:  times2  11146  2timesi  11147  2txmxeqx  11149  2halves  11260  halfaddsub  11265  avglt2  11271  2timesd  11275  expubnd  12921  subsq2  12973  absmax  14069  sinmul  14902  sin2t  14907  cos2t  14908  sadadd2lem2  15172  pythagtriplem4  15524  pythagtriplem14  15533  pythagtriplem16  15535  cncph  27674  pellexlem2  37394  acongrep  37547  sub2times  39485  2timesgt  39500