Theorem acongrep 37547

Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
acongrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem acongrep

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		simpl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11043	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		congrep 37540	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))(2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
8		elfzelz 12342	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zred 11482	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 𝑏 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrl 764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℝ)
11		nnre 11027	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	ad2antrr 762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		elfzle1 12344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) → 0 ≤ 𝑏)
14	13	ad2antrl 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ≤ 𝑏)
15	14	anim1i 592	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴))
16	8	ad2antrl 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℤ)
17		0zd 11389	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 0 ∈ ℤ)
18		nnz 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		elfz 12332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
22	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (𝑏 ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝐴)))
23	15, 22	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → 𝑏 ∈ (0...𝐴))
24		simplrr 801	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
25	24	orcd 407	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁)))
26		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
27		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑁 = 𝑁)
28	26, 27	acongeq12d 37546	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))))
29	28	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
30	23, 25, 29	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝑏 ≤ 𝐴) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
31		simplll 798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		simplrl 800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
33		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
34	9	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
35		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
37	35, 11, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
39		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ∈ ℤ)
40		2z 11409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
41		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
42	40, 18, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
44		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)))
45		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴))))
46	45	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1))) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
47	39, 43, 44, 46	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (𝑏 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑏 ∧ 𝑏 < (2 · 𝐴)))
48	47	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 < (2 · 𝐴))
49	34, 38, 48	ltled 10185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝑏 ≤ (2 · 𝐴))
50	38, 34	subge0d 10617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ↔ 𝑏 ≤ (2 · 𝐴)))
51	49, 50	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏))
52	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ∈ ℝ)
53		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
54		2times 11145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴))
56		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
57	56	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
58	55, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
59	53, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
60	59	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
61		simp3 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → 𝐴 ≤ 𝑏)
62	60, 61	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) ≤ 𝑏)
63	38, 52, 34, 62	subled 10630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)
64	51, 63	jca 554	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
65	31, 32, 33, 64	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴))
66	40, 19, 41	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
67	66, 16	zsubcld 11487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ)
68		elfz 12332	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
69	67, 17, 19, 68	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
70	69	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ↔ (0 ≤ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∧ ((2 · 𝐴) − 𝑏) ≤ 𝐴)))
71	65, 70	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴))
72		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
73		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))
74		congsym 37535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
75	66, 16, 72, 73, 74	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏))
76	72, 16	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ)
77		dvdsadd 15024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑏) ∈ ℤ) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
78	66, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) ∥ (𝑁 − 𝑏) ↔ (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏))))
79	75, 78	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
80	67	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ ℂ)
81		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
82	81	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
83	80, 82	subnegd 10399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁))
84	66	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
85	10	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → 𝑏 ∈ ℂ)
86	84, 85, 82	subadd23d 10414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) + 𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
87	83, 86	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁) = ((2 · 𝐴) + (𝑁 − 𝑏)))
88	79, 87	breqtrrd 4681	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
89	88	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))
90	89	olcd 408	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁)))
91		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏))
92		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → 𝑁 = 𝑁)
93	91, 92	acongeq12d 37546	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((2 · 𝐴) − 𝑏) → (((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)) ↔ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))))
94	93	rspcev 3309	. . . 4 ⊢ ((((2 · 𝐴) − 𝑏) ∈ (0...𝐴) ∧ ((2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (((2 · 𝐴) − 𝑏) − -𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
95	71, 90, 94	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) ∧ 𝐴 ≤ 𝑏) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
96	10, 12, 30, 95	lecasei 10143	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑏 ∈ (0...((2 · 𝐴) − 1)) ∧ (2 · 𝐴) ∥ (𝑏 − 𝑁))) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))
97	7, 96	rexlimddv 3035	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...𝐴)((2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − 𝑁) ∨ (2 · 𝐴) ∥ (𝑎 − -𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ...cfz 12326   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  jm2.26  37569