Theorem ac6c4 9303

Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6c4.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6c4	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧 𝐵 ≠ ∅
2		nfcsb1v 3549	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
3		nfcv 2764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥∅
4	2, 3	nfne 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅
5		csbeq1a 3542	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
6	5	neeq1d 2853	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅))
7	1, 4, 6	cbvral 3167	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅)
8		n0 3931	. . . . 5 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
9		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑧 ∈ 𝐴
10		nfre1 3005	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
11	2	nfel2 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
12	5	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
13	11, 12	rspce 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
14		eliun 4524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
15	13, 14	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
16		rspe 3003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
17	15, 16	sylancom 701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
19	9, 10, 18	exlimd 2087	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
20	8, 19	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
21	20	ralimia 2950	. . 3 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
22	7, 21	sylbi 207	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
23		ac6c4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
24		ac6c4.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
25	23, 24	iunex 7147	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
26		eleq1 2689	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑧) → (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
27	23, 25, 26	ac6 9302	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
28		ffn 6045	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
29		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵
30	2	nfel2 2781	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
31		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑧))
32	31, 5	eleq12d 2695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵))
33	29, 30, 32	cbvral 3167	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
34	33	biimpri 218	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
35	28, 34	anim12i 590	. . 3 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
36	35	eximi 1762	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑧) ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
37	22, 27, 36	3syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  ⦋csb 3533  ∅c0 3915  ∪ ciun 4520   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  ac6c5  9304  ac9  9305