Theorem ac6c4 9303

Description: Equivalent of Axiom of Choice. B is a collection B ( x ) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6c4.1	|- A e. _V
ac6c4.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
ac6c4	|- ( A. x e. A B =/= (/) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   B, f

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem ac6c4

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ z B =/= (/)
2		nfcsb1v 3549	. . . . 5 |- F/_ x [_ z / x ]_ B
3		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x (/)
4	2, 3	nfne 2894	. . . 4 |- F/ x [_ z / x ]_ B =/= (/)
5		csbeq1a 3542	. . . . 5 |- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
6	5	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( x = z -> ( B =/= (/) <-> [_ z / x ]_ B =/= (/) ) )
7	1, 4, 6	cbvral 3167	. . 3 |- ( A. x e. A B =/= (/) <-> A. z e. A [_ z / x ]_ B =/= (/) )
8		n0 3931	. . . . 5 |- ( [_ z / x ]_ B =/= (/) <-> E. y y e. [_ z / x ]_ B )
9		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ y z e. A
10		nfre1 3005	. . . . . 6 |- F/ y E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B
11	2	nfel2 2781	. . . . . . . . . 10 |- F/ x y e. [_ z / x ]_ B
12	5	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( y e. B <-> y e. [_ z / x ]_ B ) )
13	11, 12	rspce 3304	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. A /\ y e. [_ z / x ]_ B ) -> E. x e. A y e. B )
14		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ y e. [_ z / x ]_ B ) -> y e. U_ x e. A B )
16		rspe 3003	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. U_ x e. A B /\ y e. [_ z / x ]_ B ) -> E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B )
17	15, 16	sylancom 701	. . . . . . 7 |- ( ( z e. A /\ y e. [_ z / x ]_ B ) -> E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B )
18	17	ex 450	. . . . . 6 |- ( z e. A -> ( y e. [_ z / x ]_ B -> E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B ) )
19	9, 10, 18	exlimd 2087	. . . . 5 |- ( z e. A -> ( E. y y e. [_ z / x ]_ B -> E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B ) )
20	8, 19	syl5bi 232	. . . 4 |- ( z e. A -> ( [_ z / x ]_ B =/= (/) -> E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B ) )
21	20	ralimia 2950	. . 3 |- ( A. z e. A [_ z / x ]_ B =/= (/) -> A. z e. A E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B )
22	7, 21	sylbi 207	. 2 |- ( A. x e. A B =/= (/) -> A. z e. A E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B )
23		ac6c4.1	. . 3 |- A e. _V
24		ac6c4.2	. . . 4 |- B e. _V
25	23, 24	iunex 7147	. . 3 |- U_ x e. A B e. _V
26		eleq1 2689	. . 3 |- ( y = ( f ` z ) -> ( y e. [_ z / x ]_ B <-> ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B ) )
27	23, 25, 26	ac6 9302	. 2 |- ( A. z e. A E. y e. U_ x e. A B y e. [_ z / x ]_ B -> E. f ( f : A --> U_ x e. A B /\ A. z e. A ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B ) )
28		ffn 6045	. . . 4 |- ( f : A --> U_ x e. A B -> f Fn A )
29		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ z ( f ` x ) e. B
30	2	nfel2 2781	. . . . . 6 |- F/ x ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B
31		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( f ` x ) = ( f ` z ) )
32	31, 5	eleq12d 2695	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f ` x ) e. B <-> ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B ) )
33	29, 30, 32	cbvral 3167	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. B <-> A. z e. A ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B )
34	33	biimpri 218	. . . 4 |- ( A. z e. A ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B -> A. x e. A ( f ` x ) e. B )
35	28, 34	anim12i 590	. . 3 |- ( ( f : A --> U_ x e. A B /\ A. z e. A ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
36	35	eximi 1762	. 2 |- ( E. f ( f : A --> U_ x e. A B /\ A. z e. A ( f ` z ) e. [_ z / x ]_ B ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
37	22, 27, 36	3syl 18	1 |- ( A. x e. A B =/= (/) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-en 7956  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  ac6c5  9304  ac9  9305