Proof of Theorem cdlemi
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1172 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐾 ∈ HL) |
2 | | simp11r 1173 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝑊 ∈ 𝐻) |
3 | | simp2l 1087 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝑈 ∈ 𝐸) |
4 | | simp13 1093 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐺 ∈ 𝑇) |
5 | | simp2r 1088 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) |
6 | | cdlemi.b |
. . . . . 6
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) |
7 | | cdlemi.l |
. . . . . 6
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
8 | | cdlemi.j |
. . . . . 6
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
9 | | cdlemi.m |
. . . . . 6
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
10 | | cdlemi.a |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
11 | | cdlemi.h |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
12 | | cdlemi.t |
. . . . . 6
⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) |
13 | | cdlemi.r |
. . . . . 6
⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊) |
14 | | cdlemi.e |
. . . . . 6
⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) |
15 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemi1 36106 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))) |
16 | 1, 2, 3, 4, 5, 15 | syl221anc 1337 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺))) |
17 | | simp12 1092 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐹 ∈ 𝑇) |
18 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemi2 36107 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) |
19 | 1, 2, 3, 17, 4, 5,
18 | syl231anc 1346 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) |
20 | | hllat 34650 |
. . . . . 6
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
21 | 1, 20 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat) |
22 | | simp11 1091 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
23 | 11, 12, 14 | tendocl 36055 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇) |
24 | 22, 3, 4, 23 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇) |
25 | | simp2rl 1130 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
26 | 6, 10 | atbase 34576 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
28 | 6, 11, 12 | ltrncl 35411 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
29 | 22, 24, 27, 28 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
30 | 6, 11, 12, 13 | trlcl 35451 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵) |
31 | 22, 4, 30 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵) |
32 | 6, 8 | latjcl 17051 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵) |
33 | 21, 27, 31, 32 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵) |
34 | 11, 12, 14 | tendocl 36055 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) |
35 | 22, 3, 17, 34 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) |
36 | 6, 11, 12 | ltrncl 35411 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
37 | 22, 35, 27, 36 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵) |
38 | 11, 12 | ltrncnv 35432 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇) |
39 | 22, 17, 38 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ◡𝐹 ∈ 𝑇) |
40 | 11, 12 | ltrnco 36007 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) |
41 | 22, 4, 39, 40 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) |
42 | 6, 11, 12, 13 | trlcl 35451 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵) |
43 | 22, 41, 42 | syl2anc 693 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵) |
44 | 6, 8 | latjcl 17051 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝐵) → (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵) |
45 | 21, 37, 43, 44 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵) |
46 | 6, 7, 9 | latlem12 17078 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) ∈ 𝐵)) → ((((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))) |
47 | 21, 29, 33, 45, 46 | syl13anc 1328 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))) |
48 | 16, 19, 47 | mpbi2and 956 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))) |
49 | | hlatl 34647 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat) |
50 | 1, 49 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat) |
51 | 7, 10, 11, 12 | ltrnat 35426 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) |
52 | 22, 24, 25, 51 | syl3anc 1326 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴) |
53 | 7, 10, 11, 12 | ltrnel 35425 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊)) |
54 | 22, 35, 5, 53 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊)) |
55 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemi1 36106 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹))) |
56 | 1, 2, 3, 17, 5, 55 | syl221anc 1337 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹))) |
57 | 5, 54, 56 | 3jca 1242 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)))) |
58 | | eqid 2622 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) |
59 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58 | cdlemh 36105 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ≤ 𝑊)) |
60 | 59 | simpld 475 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴) |
61 | 57, 60 | syld3an2 1373 |
. . . 4
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴) |
62 | 7, 10 | atcmp 34598 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴) → (((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))) |
63 | 50, 52, 61, 62 | syl3anc 1326 |
. . 3
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))) |
64 | 48, 63 | mpbid 222 |
. 2
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))) |
65 | | cdlemi.s |
. 2
⊢ 𝑆 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) |
66 | 64, 65 | syl6eqr 2674 |
1
⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = 𝑆) |