Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | f1cocnv1 6166 |
. . . 4
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴)) |
2 | | coeq2 5280 |
. . . . 5
⊢ (𝐹 = 𝐺 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐺)) |
3 | 2 | eqeq1d 2624 |
. . . 4
⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |
4 | 1, 3 | syl5ibcom 235 |
. . 3
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 = 𝐺 → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |
5 | 4 | adantr 481 |
. 2
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |
6 | | f1fn 6102 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴) |
7 | 6 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐺 Fn 𝐴) |
8 | 7 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 Fn 𝐴) |
9 | | f1fn 6102 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴) |
10 | 9 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴) |
11 | 10 | adantr 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴) |
12 | | equid 1939 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑥 = 𝑥 |
13 | | resieq 5407 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥)) |
14 | 12, 13 | mpbiri 248 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥) |
15 | 14 | anidms 677 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥) |
16 | 15 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥) |
17 | | breq 4655 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 ↔ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)) |
18 | 17 | ad2antlr 763 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 ↔ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)) |
19 | 16, 18 | mpbird 247 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥) |
20 | | fnfun 5988 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → Fun 𝐺) |
21 | 7, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → Fun 𝐺) |
22 | 21 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐺) |
23 | | fndm 5990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴) |
24 | 7, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → dom 𝐺 = 𝐴) |
25 | 24 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
26 | 25 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐺) |
27 | | funopfvb 6239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((Fun
𝐺 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
28 | 22, 26, 27 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
29 | 28 | bicomd 213 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 ↔ (𝐺‘𝑥) = 𝑦)) |
30 | | df-br 4654 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥𝐺𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺) |
31 | | eqcom 2629 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) ↔ (𝐺‘𝑥) = 𝑦) |
32 | 29, 30, 31 | 3bitr4g 303 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐺𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))) |
33 | 32 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐺𝑦 → 𝑦 = (𝐺‘𝑥))) |
34 | | fnfun 5988 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹) |
35 | 10, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → Fun 𝐹) |
36 | 35 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹) |
37 | | fndm 5990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴) |
38 | 10, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴) |
39 | 38 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
40 | 39 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹) |
41 | | funopfvb 6239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
42 | 36, 40, 41 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
43 | | df-br 4654 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥𝐹𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
44 | 42, 43 | syl6rbbr 279 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦)) |
45 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑦 ∈ V |
46 | | vex 3203 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑥 ∈ V |
47 | 45, 46 | brcnv 5305 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝑦) |
48 | | eqcom 2629 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) |
49 | 44, 47, 48 | 3bitr4g 303 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦◡𝐹𝑥 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑥))) |
50 | 49 | biimpd 219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦◡𝐹𝑥 → 𝑦 = (𝐹‘𝑥))) |
51 | 33, 50 | anim12d 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑦◡𝐹𝑥) → (𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
52 | 51 | eximdv 1846 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦(𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑦◡𝐹𝑥) → ∃𝑦(𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
53 | 46, 46 | brco 5292 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑦◡𝐹𝑥)) |
54 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐺‘𝑥) ∈ V |
55 | 54 | eqvinc 3330 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥))) |
56 | 52, 53, 55 | 3imtr4g 285 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))) |
57 | 56 | adantlr 751 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))) |
58 | 19, 57 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) |
59 | 8, 11, 58 | eqfnfvd 6314 |
. . . 4
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 = 𝐹) |
60 | 59 | eqcomd 2628 |
. . 3
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 = 𝐺) |
61 | 60 | ex 450 |
. 2
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → ((◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → 𝐹 = 𝐺)) |
62 | 5, 61 | impbid 202 |
1
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |