Theorem f1eqcocnv 6556

Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1eqcocnv	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Proof of Theorem f1eqcocnv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1cocnv1 6166	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) )
2		coeq2 5280	. . . . 5 |- ( F = G -> ( `' F o. F ) = ( `' F o. G ) )
3	2	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( F = G -> ( ( `' F o. F ) = ( _I |` A ) <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
4	1, 3	syl5ibcom 235	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
5	4	adantr 481	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G -> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )
6		f1fn 6102	. . . . . . 7 |- ( G : A -1-1-> B -> G Fn A )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> G Fn A )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G Fn A )
9		f1fn 6102	. . . . . . 7 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> F Fn A )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F Fn A )
12		equid 1939	. . . . . . . . . 10 |- x = x
13		resieq 5407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> ( x ( _I |` A ) x <-> x = x ) )
14	12, 13	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
15	14	anidms 677	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> x ( _I |` A ) x )
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( _I |` A ) x )
17		breq 4655	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
18	17	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x <-> x ( _I |` A ) x ) )
19	16, 18	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> x ( `' F o. G ) x )
20		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G Fn A -> Fun G )
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun G )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun G )
23		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G Fn A -> dom G = A )
24	7, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom G = A )
25	24	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom G <-> x e. A ) )
26	25	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom G )
27		funopfvb 6239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun G /\ x e. dom G ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` x ) = y <-> <. x , y >. e. G ) )
29	28	bicomd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( <. x , y >. e. G <-> ( G ` x ) = y ) )
30		df-br 4654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x G y <-> <. x , y >. e. G )
31		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` x ) <-> ( G ` x ) = y )
32	29, 30, 31	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y <-> y = ( G ` x ) ) )
33	32	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x G y -> y = ( G ` x ) ) )
34		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn A -> Fun F )
35	10, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> Fun F )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> Fun F )
37		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn A -> dom F = A )
38	10, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> dom F = A )
39	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( x e. dom F <-> x e. A ) )
40	39	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> x e. dom F )
41		funopfvb 6239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun F /\ x e. dom F ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
42	36, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> <. x , y >. e. F ) )
43		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x F y <-> <. x , y >. e. F )
44	42, 43	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x F y <-> ( F ` x ) = y ) )
45		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
46		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
47	45, 46	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' F x <-> x F y )
48		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = y )
49	44, 47, 48	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x <-> y = ( F ` x ) ) )
50	49	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( y `' F x -> y = ( F ` x ) ) )
51	33, 50	anim12d 586	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( ( x G y /\ y `' F x ) -> ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
52	51	eximdv 1846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( E. y ( x G y /\ y `' F x ) -> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) ) )
53	46, 46	brco 5292	. . . . . . . 8 |- ( x ( `' F o. G ) x <-> E. y ( x G y /\ y `' F x ) )
54		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( G ` x ) e. _V
55	54	eqvinc 3330	. . . . . . . 8 |- ( ( G ` x ) = ( F ` x ) <-> E. y ( y = ( G ` x ) /\ y = ( F ` x ) ) )
56	52, 53, 55	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
57	56	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( x ( `' F o. G ) x -> ( G ` x ) = ( F ` x ) ) )
58	19, 57	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = ( F ` x ) )
59	8, 11, 58	eqfnfvd 6314	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> G = F )
60	59	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) /\ ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) -> F = G )
61	60	ex 450	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) -> F = G ) )
62	5, 61	impbid 202	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F = G <-> ( `' F o. G ) = ( _I |` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  weisoeq  6605