Theorem fiming 8404

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiming	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiming

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimin2g 8403	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2		nesym 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑥)
3	2	imbi1i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (¬ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥𝑅𝑦))
4		pm4.64 387	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑦 = 𝑥 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦))
5	3, 4	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦))
6		sotric 5061	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦)))
7	6	ancom2s 844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦)))
8	7	con2bid 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
9	5, 8	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
10	9	anassrs 680	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	10	ralbidva 2985	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	rexbidva 3049	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	12	3ad2ant1 1082	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	1, 13	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034  Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  fiinfg  8405