Theorem funsnfsupp 8299

Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funsnfsupp	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
2		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
3	1, 2	anim12ci 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
4		dmsnopg 5606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
6	5	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
7		df-nel 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
8		disjsn 4246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
9	7, 8	sylbb2 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
11	6, 10	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
12	3, 11	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
14		funun 5932	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
16	15	fsuppunbi 8296	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
17		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊))
18	17	anim2i 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)))
19	18	ancomd 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
20		df-3an 1039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
21	19, 20	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V))
22		snopfsupp 8298	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
24	23	biantrud 528	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
25	16, 24	bitr4d 271	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
26	25	ex 450	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
27		relfsupp 8277	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
28	27	brrelex2i 5159	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
29	27	brrelex2i 5159	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
30	28, 29	pm5.21ni 367	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
31	30	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
32	26, 31	pm2.61i 176	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  Fun wfun 5882   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  islindf4  20177