Theorem fsuppunbi 8296

Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppunbi.u	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
fsuppunbi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 8277	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
2		brrelex12 5155	. . . . 5 ⊢ ((Rel finSupp ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍) → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3	1, 2	mpan 706	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
4		unexb 6958	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
5		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
7		simprlr 803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
8	7	suppun 7315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍))
9		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
11		fununfun 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
12	11	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → Fun 𝐹)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
15		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
18		funisfsupp 8280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
20	10, 19	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
21		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) = (𝐺 ∪ 𝐹)
22	21	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍)
23	22	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
27	15	suppun 7315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍))
28		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
29	26, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
30	11	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → Fun 𝐺)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
33		funisfsupp 8280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
34	32, 7, 17, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
35	29, 34	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
36	20, 35	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))
37	36	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
38	37	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
39		fsuppimp 8281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
40	38, 39	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
41	4, 40	sylanbr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
42	3, 41	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
43	42	com12 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
44		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
45		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
46	44, 45	fsuppun 8294	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
47	46	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
48		fsuppunbi.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))
49	48	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))
50	1	brrelexi 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
51	1	brrelexi 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝐺 ∈ V)
52		unexg 6959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
53	50, 51, 52	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
54	53	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
55	1	brrelex2i 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
56	55	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
57	56	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
58		funisfsupp 8280	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
59	49, 54, 57, 58	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
60	47, 59	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍)
61	60	ex 450	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍))
62	43, 61	impbid 202	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  Rel wrel 5119  Fun wfun 5882  (class class class)co 6650   supp csupp 7295  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8299