Theorem funsnfsupp 8299

Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funsnfsupp	|- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> F finSupp Z ) )

Proof of Theorem funsnfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5937	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> Fun { <. X , Y >. } )
2		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ X e/ dom F ) -> Fun F )
3	1, 2	anim12ci 591	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( Fun F /\ Fun { <. X , Y >. } ) )
4		dmsnopg 5606	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. W -> dom { <. X , Y >. } = { X } )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> dom { <. X , Y >. } = { X } )
6	5	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( dom F i^i dom { <. X , Y >. } ) = ( dom F i^i { X } ) )
7		df-nel 2898	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e/ dom F <-> -. X e. dom F )
8		disjsn 4246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. dom F )
9	7, 8	sylbb2 228	. . . . . . . . . 10 |- ( X e/ dom F -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ X e/ dom F ) -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
11	6, 10	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( dom F i^i dom { <. X , Y >. } ) = (/) )
12	3, 11	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( ( Fun F /\ Fun { <. X , Y >. } ) /\ ( dom F i^i dom { <. X , Y >. } ) = (/) ) )
13	12	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( ( Fun F /\ Fun { <. X , Y >. } ) /\ ( dom F i^i dom { <. X , Y >. } ) = (/) ) )
14		funun 5932	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun F /\ Fun { <. X , Y >. } ) /\ ( dom F i^i dom { <. X , Y >. } ) = (/) ) -> Fun ( F u. { <. X , Y >. } ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> Fun ( F u. { <. X , Y >. } ) )
16	15	fsuppunbi 8296	. . . 4 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> ( F finSupp Z /\ { <. X , Y >. } finSupp Z ) ) )
17		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( X e. V /\ Y e. W ) )
18	17	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( Z e. _V /\ ( X e. V /\ Y e. W ) ) )
19	18	ancomd 467	. . . . . . 7 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ Z e. _V ) )
20		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. _V ) <-> ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ Z e. _V ) )
21	19, 20	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. _V ) )
22		snopfsupp 8298	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ Z e. _V ) -> { <. X , Y >. } finSupp Z )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> { <. X , Y >. } finSupp Z )
24	23	biantrud 528	. . . 4 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( F finSupp Z <-> ( F finSupp Z /\ { <. X , Y >. } finSupp Z ) ) )
25	16, 24	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> F finSupp Z ) )
26	25	ex 450	. 2 |- ( Z e. _V -> ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> F finSupp Z ) ) )
27		relfsupp 8277	. . . . 5 |- Rel finSupp
28	27	brrelex2i 5159	. . . 4 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z -> Z e. _V )
29	27	brrelex2i 5159	. . . 4 |- ( F finSupp Z -> Z e. _V )
30	28, 29	pm5.21ni 367	. . 3 |- ( -. Z e. _V -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> F finSupp Z ) )
31	30	a1d 25	. 2 |- ( -. Z e. _V -> ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> F finSupp Z ) ) )
32	26, 31	pm2.61i 176	1 |- ( ( ( X e. V /\ Y e. W ) /\ ( Fun F /\ X e/ dom F ) ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) finSupp Z <-> F finSupp Z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  islindf4  20177