Theorem hi01 27953

Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hi01	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Proof of Theorem hi01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 27860	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		ax-hvmul0 27867	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
4	3	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0ℎ ·ih 𝐴)
5		0cn 10032	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		ax-his3 27941	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
7	5, 1, 6	mp3an12 1414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((0 ·ℎ 0ℎ) ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
8	4, 7	syl5eqr 2670	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)))
9		hicl 27937	. . . 4 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
10	1, 9	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	mul02d 10234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 · (0ℎ ·ih 𝐴)) = 0)
12	8, 11	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ ·ih 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941   ℋchil 27776   ·_ℎ csm 27778   ·_ih csp 27779  0_ℎc0v 27781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hv0cl 27860  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his3 27941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  hi02  27954  hiidge0  27955  his6  27956  hial0  27959  normgt0  27984  norm0  27985  ocsh  28142  0hmop  28842  adj0  28853  lnopeq0i  28866  leop3  28984  leoprf2  28986  leoprf  28987  idleop  28990