Theorem mul02d 10234

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul02d	⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul02 10214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  mulneg1  10466  mulge0  10546  mul0or  10667  prodgt0  10868  un0mulcl  11327  mul2lt0rgt0  11933  mul2lt0bi  11936  lincmb01cmp  12315  iccf1o  12316  discr1  13000  discr  13001  hashxplem  13220  cshweqrep  13567  remul2  13870  immul2  13877  binomlem  14561  pwm1geoser  14600  geomulcvg  14607  ntrivcvgfvn0  14631  fprodeq0  14705  fprodeq0g  14725  0fallfac  14768  binomfallfaclem2  14771  efne0  14827  dvds0  14997  mulmoddvds  15051  pwp1fsum  15114  smumullem  15214  mulgcd  15265  bezoutr1  15282  lcmgcd  15320  qnumgt0  15458  pcexp  15564  vdwapun  15678  vdwlem1  15685  mulgnn0ass  17578  odmulg  17973  torsubg  18257  isabvd  18820  nn0srg  19816  rge0srg  19817  prmirredlem  19841  nmo0  22539  nmoeq0  22540  blcvx  22601  reparphti  22797  pcorevlem  22826  ipcau2  23033  rrxcph  23180  itg1addlem4  23466  itg1addlem5  23467  itg1mulc  23471  itg2mulc  23514  dvcmul  23707  dvmptcmul  23727  dvexp3  23741  dvef  23743  dveq0  23763  dv11cn  23764  ply1termlem  23959  plyeq0lem  23966  plypf1  23968  plyaddlem1  23969  plymullem1  23970  coeeulem  23980  coeidlem  23993  coeid3  23996  coemullem  24006  coemulhi  24010  coemulc  24011  dgrco  24031  vieta1lem2  24066  elqaalem2  24075  aalioulem3  24089  taylthlem2  24128  abelthlem6  24190  pilem2  24206  sinhalfpip  24244  sinhalfpim  24245  coshalfpip  24246  coshalfpim  24247  logtayl  24406  mulcxp  24431  cxpmul2  24435  cxpeq  24498  chordthmlem5  24563  cubic  24576  atans2  24658  atantayl2  24665  leibpi  24669  efrlim  24696  scvxcvx  24712  amgm  24717  ftalem5  24803  basellem2  24808  mumul  24907  muinv  24919  dchrn0  24975  dchrinvcl  24978  lgsdirnn0  25069  lgsdinn0  25070  lgsquad2lem2  25110  rpvmasumlem  25176  dchrisum0flblem1  25197  rpvmasum2  25201  ostth2lem2  25323  brbtwn2  25785  axsegconlem1  25797  axpaschlem  25820  axcontlem7  25850  axcontlem8  25851  nvz0  27523  ipasslem1  27686  hi01  27953  fprodeq02  29569  xrge0iifhom  29983  indsum  30083  indsumin  30084  eulerpartlemsv2  30420  eulerpartlems  30422  eulerpartlemsv3  30423  eulerpartlemgc  30424  eulerpartlemv  30426  eulerpartlemgs2  30442  sgnmul  30604  plymul02  30623  plymulx0  30624  itgexpif  30684  breprexplemc  30710  breprexp  30711  logdivsqrle  30728  subfacp1lem6  31167  cvxpconn  31224  cvxsconn  31225  fwddifnp1  32272  pell1234qrne0  37417  jm2.19lem3  37558  jm2.25  37566  flcidc  37744  relexpmulg  38002  radcnvrat  38513  dvconstbi  38533  binomcxplemnn0  38548  sineq0ALT  39173  fperiodmullem  39517  fprod0  39828  dvsinax  40127  dvasinbx  40135  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnxpaek  40157  dvnmul  40158  itgsinexplem1  40169  dirkertrigeqlem2  40316  fourierdlem42  40366  fourierdlem83  40406  sqwvfoura  40445  fouriersw  40448  elaa2lem  40450  etransclem15  40466  etransclem24  40475  etransclem35  40486  etransclem46  40497  sigarcol  41053  sharhght  41054  fmtnofac2  41481  aacllem  42547