Theorem hlatlej2 34662

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 17061 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 34661	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1271	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 34654	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 4681	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  lecple 15948  joincjn 16944  Atomscatm 34550  HLchlt 34637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-lub 16974  df-join 16976  df-lat 17046  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638

This theorem is referenced by:  2llnne2N  34694  cvrat3  34728  cvrat4  34729  hlatexch3N  34766  hlatexch4  34767  dalem3  34950  dalem25  34984  lnatexN  35065  lncmp  35069  2llnma3r  35074  paddasslem5  35110  dalawlem3  35159  dalawlem6  35162  dalawlem7  35163  dalawlem12  35168  lhp2atne  35320  lhp2at0ne  35322  4atexlemunv  35352  cdlemc2  35479  cdlemc5  35482  cdleme3h  35522  cdleme7  35536  cdleme9  35540  cdleme11c  35548  cdleme11dN  35549  cdleme11j  35554  cdleme16b  35566  cdleme17b  35574  cdleme18a  35578  cdleme18b  35579  cdleme18c  35580  cdleme20yOLD  35590  cdleme19a  35591  cdleme20d  35600  cdleme20j  35606  cdleme21ct  35617  cdleme22a  35628  cdleme22e  35632  cdleme22eALTN  35633  cdleme35b  35738  cdlemg9a  35920  cdlemg12a  35931  cdlemg13a  35939  cdlemg17a  35949  cdlemg17g  35955  cdlemg18c  35968  cdlemg33b0  35989  cdlemg46  36023  cdlemh1  36103  cdlemh  36105  cdlemk4  36122  cdlemki  36129  cdlemksv2  36135  cdlemk12  36138  cdlemk15  36143  cdlemk12u  36160  cdlemkid1  36210  dia2dimlem1  36353  dia2dimlem3  36355  cdlemn10  36495  dihjatcclem1  36707