Theorem inmap 39401

Description: Intersection of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
inmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
inmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
inmap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
inmap	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem inmap

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1 3799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
2		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐴)
4		elinel2 3800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
5		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶𝐵)
7	3, 6	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → (𝑓:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
8		fin 6085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑓:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝑓:𝐶⟶𝐵))
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵))
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵))
11		inmap.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		inss1 3833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴)
14	11, 13	ssexd 4805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
15		inmap.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
16	14, 15	elmapd 7871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵)))
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴 ∩ 𝐵)))
18	10, 17	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
19	18	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
20		dfss3 3592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
21	19, 20	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))
22		mapss 7900	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
23	11, 13, 22	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴 ↑𝑚 𝐶))
24		inmap.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
25		inss2 3834	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
27		mapss 7900	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
28	24, 26, 27	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑𝑚 𝐶))
29	23, 28	ssind 3837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)))
30	21, 29	eqssd 3620	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑𝑚 𝐶) ∩ (𝐵 ↑𝑚 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  40874  vonvolmbl  40875