Theorem vonvolmbl 40875

Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbl	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
3		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		vonvolmbl.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
6	4, 5	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
9	8	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
10	2, 6, 9	inmap 39401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
11	10	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
13		vonvolmbl.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2, 6, 13	difmapsn 39404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
15	14	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
17	12, 16	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
19		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ V)
20	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
21		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
22		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
24	19, 23	elpwd 4167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
26		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
27		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
29		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
31	28, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
33	31, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴}))))
34	33	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
35	25, 26, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
36	35	adantll 750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
37		eqidd 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
38	18, 36, 37	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
39	38	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))))
40	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
41	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
42	40, 41	ovnovol 40873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
43	42	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
44	41	ssinss1d 39214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
45	40, 44	ovnovol 40873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)))
46	41	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
47	40, 46	ovnovol 40873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
49	48	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
50	39, 43, 49	3eqtr3d 2664	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
51	50	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
52	51	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
53	13	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑉)
54	5	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
55		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
56		elpwi 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
57	56	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
58		rneq 5351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
59	58	cbviunv 4559	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑥 ran 𝑔 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑥 ran 𝑓
60	53, 54, 55, 57, 59	vonvolmbllem 40874	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
61	60	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
62	61	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
63	52, 62	impbid 202	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
64		mapss 7900	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
65	4, 5, 64	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
66	8	isvonmbl 40852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
67	65, 66	mpbirand 530	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
68		ismbl4 40210	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
69	68	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))))
70	5, 69	mpbirand 530	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
71	63, 67, 70	3bitr4d 300	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ ciun 4520  dom cdm 5114  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  ℝcr 9935   +_𝑒 cxad 11944  vol*covol 23231  volcvol 23232  voln*covoln 40750  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

This theorem is referenced by:  vonvol  40876  vonvolmbl2  40877  vonvol2  40878