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Theorem inmap 39401
Description: Intersection of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
inmap.a |- ( ph -> A e. V )
inmap.b |- ( ph -> B e. W )
inmap.c |- ( ph -> C e. Z )
Assertion
Ref Expression
inmap |- ( ph -> ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) = ( ( A i^i B ) ^m C ) )
Proof of Theorem inmap
Dummy variable f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel1 3799 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) -> f e. ( A ^m C ) )
2 elmapi 7879 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( A ^m C ) -> f : C --> A )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) -> f : C --> A )
4 elinel2 3800 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) -> f e. ( B ^m C ) )
5 elmapi 7879 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( B ^m C ) -> f : C --> B )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 |- ( f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) -> f : C --> B )
73, 6jca 554 . . . . . . 7 |- ( f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) -> ( f : C --> A /\ f : C --> B ) )
8 fin 6085 . . . . . . 7 |- ( f : C --> ( A i^i B ) <-> ( f : C --> A /\ f : C --> B ) )
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 |- ( f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) -> f : C --> ( A i^i B ) )
109adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) ) -> f : C --> ( A i^i B ) )
11 inmap.a . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. V )
12 inss1 3833 . . . . . . . . 9 |- ( A i^i B ) C_ A
1312a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ A )
1411, 13ssexd 4805 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A i^i B ) e. _V )
15 inmap.c . . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Z )
1614, 15elmapd 7871 . . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. ( ( A i^i B ) ^m C ) <-> f : C --> ( A i^i B ) ) )
1716adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) ) -> ( f e. ( ( A i^i B ) ^m C ) <-> f : C --> ( A i^i B ) ) )
1810, 17mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) ) -> f e. ( ( A i^i B ) ^m C ) )
1918ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ph -> A. f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) f e. ( ( A i^i B ) ^m C ) )
20 dfss3 3592 . . 3 |- ( ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) C_ ( ( A i^i B ) ^m C ) <-> A. f e. ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) f e. ( ( A i^i B ) ^m C ) )
2119, 20sylibr 224 . 2 |- ( ph -> ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) C_ ( ( A i^i B ) ^m C ) )
22 mapss 7900 . . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( A i^i B ) C_ A ) -> ( ( A i^i B ) ^m C ) C_ ( A ^m C ) )
2311, 13, 22syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( ( A i^i B ) ^m C ) C_ ( A ^m C ) )
24 inmap.b . . . 4 |- ( ph -> B e. W )
25 inss2 3834 . . . . 5 |- ( A i^i B ) C_ B
2625a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ B )
27 mapss 7900 . . . 4 |- ( ( B e. W /\ ( A i^i B ) C_ B ) -> ( ( A i^i B ) ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
2824, 26, 27syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( ( A i^i B ) ^m C ) C_ ( B ^m C ) )
2923, 28ssind 3837 . 2 |- ( ph -> ( ( A i^i B ) ^m C ) C_ ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) )
3021, 29eqssd 3620 1 |- ( ph -> ( ( A ^m C ) i^i ( B ^m C ) ) = ( ( A i^i B ) ^m C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  40874  vonvolmbl  40875
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