Theorem isbasisrelowllem1 33203

Description: Lemma for isbasisrelowl 33206. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowllem1	⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧   𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑏,𝑐,𝑦,𝑥,𝑧   𝑐,𝑑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem isbasisrelowllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1103	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → 𝑐 ∈ ℝ)
2		simpll2 1101	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ
4		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ
5		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
6	5	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
7	3, 4, 6	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
8		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑐 ∈ ℝ
9		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑑 ∈ ℝ
10		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}
11	10	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}
12	8, 9, 11	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
13	7, 12	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
14		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑))
16		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∩ 𝑦)
17		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
18		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
19		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
20		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
21		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
22		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
23	21, 22	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
24	23	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	20, 24	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
27		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
28	26, 27	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
29	28	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
30	25, 29	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
31		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
32		anidm 676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ 𝑧 ∈ ℝ)
33	32	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
34	31, 33	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
35	30, 34	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
36	18, 19, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
38		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → 𝑧 ∈ ℝ)
39		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → 𝑐 ≤ 𝑧)
40		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → 𝑧 < 𝑏)
41	38, 39, 40	jca32 558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
42	37, 41	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
43		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
44		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
45	43, 44	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)))
46		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) → 𝑎 ≤ 𝑧))
47	46	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) → 𝑎 ≤ 𝑧)))
48	47	exp4a 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧))))
49	48	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧))))
50		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → 𝑧 < 𝑑))
51	50	3coml 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → 𝑧 < 𝑑))
52	51	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))
53	52	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))))
54	53	ad2ant2l 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))))
55	49, 54	jcad 555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))))
56		prth 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))))
57	55, 56	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))))
59		prth 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
60	58, 59	syl8 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
61	60	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
62	61	ancrd 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
63		an42 866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
64		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
65	63, 64	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
66	62, 65	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
68	66, 67	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
69	45, 68	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
70	69	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
71	70	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
72	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
74	71, 73	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦))
75	74	expl 648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)))
76	75	ancomsd 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)))
77	42, 76	impbid 202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
78		rabid 3116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
79	77, 78	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
80	15, 16, 17, 79	eqrd 3622	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
81	2, 80	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
82		19.8a 2052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
83	81, 82	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
84		df-rex 2918	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
85	83, 84	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
86	1, 85	jca 554	. . . 4 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
87		19.8a 2052	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
88	86, 87	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
89		df-rex 2918	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
90	88, 89	sylibr 224	. 2 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
91		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
92	91	icoreelrnab 33202	. 2 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
93	90, 92	sylibr 224	1 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∩ cin 3573   class class class wbr 4653   × cxp 5112   “ cima 5117  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075  [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  icoreclin  33205